【定义】n阶行列式

前置知识：

• 【定义】二阶行列式
• 【定义】三阶行列式
• 对换对排列奇偶性的影响

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下面来探索 $n$ 阶行列式的定义。首先归纳二阶行列式和三阶行列式的结构。

二阶行列式定义为
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\text{\hspace{1em}(1)}$$
三阶行列式定义为
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\text{\hspace{1em}(2)}$$

可以发现如下规则：

1. 二阶行列式 (1) 右端的项数是 $A(2)=2$；三阶行列式 (2) 右端的项数是 $A(3)=6$。归纳得到：对于 $n$ 阶行列式（$n=2,3$），右端的项数是 $A(n)$。

2. 二阶行列式 (1) 右端的每一项都是两个元素的乘积，两个元素位于不同的行、不同的列；三阶行列式 (2) 右端的每一项都是三个元素的乘积，三个元素位于不同的行、不同的列。归纳得到：对于 $n$ 阶行列式（$n=2,3$），右端任一项除正负号外均可以写成 ${\prod }_{i=1}^n{a}_{i{p}_i}$；其中 $p_1{p}_2\cdots p_n$ 为自然数 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列。这里将第一个下标（行标）排成标准次序 123，而第二个下标（列标）排成 $p_1{p}_2\cdots p_n$，它是 $1,2,\cdots ,n$ 的某个排列。

3. 二阶行列式 (1) 和三阶行列式 (2) 右端各项的正负号与列标的排列的对应关系如下：

   • 带正号的项：12、123、231、312，其逆序数均为偶数，排列均为偶排列。
   • 带负号的项：21、132、213、321，其逆序数均为奇数，排列均为奇排列。

   归纳得到：对于 $n$ 阶行列式（$n=2,3$），右端任一项的正负号可以表示为 $(-1{)}^t$，其中 $t$ 为列标排列的逆序数。

我们将上述规则推广到一般情形，就得到如下定义：

定义　设有 $n^2$ 个数，排成 $n$ 行 $n$ 列的数表
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
作出表中位于不同行不同列的 $n$ 个数的乘积，并冠以符号 $(-1{)}^t$，得到形如
$$(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}\text{\hspace{1em}(4)}$$
的项，其中 $p_1{p}_2\cdots p_n$ 为自然数 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列，$t$ 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有 $n!$ 个，因此形如 (4) 式的项共有 $n!$ 项。所有这 $n!$ 项的代数和
$$\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}$$
称为 $n$ 阶行列式，记作
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
简记作 $det(a_{ij})$，其中数 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(i,j)$ 元。