进制和位运算

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💖 系列专栏：计算机组成原理
🌠 首发时间：2022年9月11日
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进制

简介

进制指进位制，是人们规定的一种进位方式

它表示某一位置上的数，运算时是逢 X 进一位。比如，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，八进制就是逢八进一…

学习进制的理由

计算机数据在底层运算的时候，都是以二进制的形式进行的

也有数据是以八进制、十进制或者十六进制进行存储或运算，了解不同的进制，便于我们对数据的运算过程理解得更加深刻

我们都知道 ASCII 码，也知道 a 的 ASCII 码是 97，但是你知道它为什么是 97 吗？

十进制

运算规则：逢十进一，借一当十

十进制是我们很熟悉的进制了，毕竟我们从幼儿园就开始学习了，它的运算规则也很好理解了，其他进制的运算规则和十进制的大同小异

二进制

二进制数据就是用 0 和 1 两个数码来表示，例如：0000 0110

进位规则是“逢二进一”，借位规则是 “借一当二”

二进制的计算举例

加法：0011 + 1 = 0100
减法：0010 - 1 = 0001

很简单，是不是

八进制和十六进制

八进制：采用 0，1，2，3，4，5，6，7 这八个数字来表示，逢八进一，借一当八

十六进制：用数字 0 到 9 和 字母 A 到 F（或 a ~ f）来表示，其中 A ~ F 表示 10 ~ 15，这些称作十六进制

不同进制的书写格式

• 十进制：一般，数值默认都是 10 进制，不需要加任何修饰
• 二进制：数值前面以 0b 开头，b 大小写都可以
• 八进制：数值前面以 0 开头
• 十六进制：数值前面以 0x 开头，x 大小写都可以

我们在 Java 中使用一下

public class ScaleDemo {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(10);     //十进制
        System.out.println(0b10);   //二进制
        System.out.println(010);    //八进制
        System.out.println(0x10);   //十六进制
    }
}
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打印出来的结果如下：

进制转换

二进制转十进制

公式：系数 * 基数的权次幂，然后相加

• 系数：每一位上的数
• 基数：几进制，就是几
• 权：从数值的右侧，以 0 开始，逐个 +1 增加

这样说可能不是特别直观，我们来看一个具体的例子，比如 0b100，这个数的十进制是多少呢？

首先，0b 表示这个数为二进制形式

系数 * 基数的权次幂如下：
第一位：0 * 2⁰ = 0
第二位：0 * 2¹ = 0
第三位：1 * 2² = 4

然后相加，0 + 0 + 4 = 4，结果就是 4 了

注意：上面的公式同样适用于八进制转十进制、十六进制转十进制

十进制转二进制

公式：除基倒取余

解释：使用源数据，不断地除以基数（几进制，就是几）得到余数，直到商为 0，再将余数倒着拼起来即可

比如，将十进制数字 11，转换为二进制，它的实现方式如下

将源数据 11 不断地除以基数 2，直到商为 0，结果为 1011

注意：上面的公式同样适用于十进制转八进制、十进制转十六进制

快速进制转换法

8421码 —— 二进制和十进制的快速转换

8421 码又称为 BCD 码，是 BCD 代码中最常用的一种

BCD：Binary-Coded Decimal，二进制码十进制数

在这种编码方式中，每一位二进制值的 1 都是代表一个固定数值，把每一位的 1 代表的十进制加起来，得到的结果就是它所代表的十进制数

二进制快速转十进制

比如，我们有一个二进制数 1111 1111，它的每一位对应的十进制数值是多少呢？

列举出来，就是 8421 码

可将二进制数值直接套入其中，0 对应的值不取，1 所对应的值取出并相加

二进制快速转八进制

八进制：将三个二进制位看为一组，再进行转换

原因：八进制逢八进一，三个二进制位最多可以表示 111，也就是数值 7，如果出现第四位，就超范围了

来看一个实例，将 0b111100 转换为八进制，我们将它拆分为 2 个三位二进制

再拼起来，就是 74

二进制快速转十六进制

十六进制：将四个二进制位看为一组，再进行转换

原因：十六进制逢十六进一，四个二进制位最多可以表示 1111，也就是数值 15，如果出现第五位，就超范围了

位运算

位运算符

位运算符指的是二进制位的运算，先将十进制数转成二进制后再进行计算

在二进制位运算中，1 表示 true，0 表示 false

需要注意的是，参与位运算的是数的补码，补码是相对有符号数来说的，有符号数进行位运算的都是补码，正数的补码是它本身，只有负数的才不一样

对一个数左移 n 位，其实是将这个数乘以 2 的 n 次幂

对一个数右移 n 位，其实是将这个数除以 2 的 n 次幂

位运算的效率会比我们普通运算的效率高

异或运算的特点

一个数被另外一个数异或两次，该数本身不变

数据交换

需求：已知两个整数变量 a = 10，b = 20，使用程序实现这两个变量的数据交换，最终输出 a = 20，b = 10

第三方变量方式思路：

1. 定义一个临时变量 temp，将 a 原本记录的值交给 temp 记录
2. 使用 a 变量记录 b 的值
3. 使用 b 变量记录 temp 的值，也就是 a 原本的值
4. 输出 a b 变量即可

public class demo {
    public static void main(String[] args) {
        int a = 10, b = 20;
        int temp = a;
        a = b;
        b = temp;
        System.out.println("a = " + a + ",b = " + b);
    }
}
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异或运算方式思路：

• 让 a 先异或 b 再异或 a，这就相当于是 b 异或了 a 两次，于是 a 的值就变成了 b 的值

public class demo {
    public static void main(String[] args) {
        int a = 10, b = 20;
        a = a ^ b;
        b = a ^ b;
        a = a ^ b;
        System.out.println("a = " + a + ",b = " + b);
    }
}
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加减方式：

public class demo {
    public static void main(String[] args) {
        int a = 10, b = 20;
        a = a + b;
        b = a - b;
        a = a - b;
        System.out.println("a = " + a + ",b = " + b);
    }
}
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