球体投影到像素空间的大小

1. 概述

需要说明的是，球体投影到像素空间的结果可能不是一个正圆，其半径或者直径大小只能估算而没有确定的值。根据参考资料，球体投影到像素空间的半径的计算公式为：

$$radiu{s}_{[clip\_space]}=radius\ast cot(fov/2)/Z\text{\hspace{1em}(0)}$$

其中radius是球体的半径，fov是摄像机视场角，z是球心到摄像机位置的距离。当然，由于最后得到的是裁剪空间的大小，需要换算到屏幕像素空间。

2. 详论

根据我的理解，这个公式也是近似的。本人通过参考文献得到的推导方式如下所示。

使用参考文章4中的插图：

球体投影到像素空间的半径其实就是h的像素长度。此时，有：

$$tan\theta =radiu{s}_{[clip\_space]}/z_{[clip\_space]}\text{\hspace{1em}(1)}$$

球体被投影到裁剪空间:

由投影变换的性质可知：

$$tan(fovy/2)=1/z_{[clip\_space]}\text{\hspace{1em}(2)}$$

联立(1)(2)式有，
$$radiu{s}_{[clip\_space]}=tan\theta \ast cot(fovy/2)\text{\hspace{1em}(3)}$$

根据世界空间的集合关系，有：
$$tan\theta =r/l\text{\hspace{1em}(4)}$$

式(4)带入式(3)中，有：
$$radiu{s}_{[clip\_space]}=r\ast cot(fovy/2)/l\text{\hspace{1em}(5)}$$

在摄像机距离球心比较远的情况下，可以认为：
$$l\approx d$$

也就是式(0)的由来。如果需要计算准确一点，那么：
$$l=\sqrt{d^2-r^2}\text{\hspace{1em}(6)}$$

上式带入式(5)，就会有：
$$radiu{s}_{[clip\_space]}=r\ast cot(fovy/2)/\sqrt{d^2-r^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

最后换算到屏幕像素空间：
$$radiu{s}_{[screen\_space]}=\frac{r\cdot cot(\frac{fovy}{2})\cdot height}{2\sqrt{d^2-r^2}}\text{\hspace{1em}(8)}$$

3. 参考

1. calculate pixelsize on screen from boundingsphere
2. Calculating radius of projected sphere
3. Radius of projected Sphere
4. Radius of projected sphere in screen space