依概率收敛和依分布收敛（附一道例题）

写在前面

这几日做到一道和依分布和概率收敛的例题，感觉对加深理解很有帮助，因此也记录在博客上面。

随机变量的收敛

定义$X_1,\cdots ,X_n$为随机变量序列，$X$是另一个随机变量，$F_n$表示$X_n$的CDF，$F$表示CDF。

依概率收敛

$\forall ϵ>0,n\to \infty ,$有$$\mathbb{P}(|X_n-X|>ϵ)\to 0,$$则称$X_n$依概率收敛于$X$。

依分布收敛

若对$F$任意连续的点$t$，有$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(t)=F(t)$$
则称$X_n$依分布收敛于$X$.

一个很有助于加深理解的例题

设$X_n\sim N(0,\frac{1}{n})$；$X$为随机变量，分布为$F(x)=0,ifX<0;F(x)=1,ifX\ge 0$.

问$X_n$是否依据概率或依分布收敛于X?

首先考虑依分布收敛，
$Let{Y}_n=\sqrt{n}{X}_n,s.t.Y_n\sim N(0,1).$
$$\begin{gathered} F(x)=P(X\le x)=P(\sqrt{n}X\le \sqrt{n}x) \\ =P(Y\le \sqrt{n}x) \end{gathered}$$从而
$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{F}_Y(\sqrt{n}x)=0ifx<0 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{F}_Y(\sqrt{n}x)=1ifx>0 \end{gathered}$$因此，以分布收敛于$X$。不考虑$X=0$的点是因为不是连续的点，不在定义所谈论的范围内。

其次考虑以概率收敛的问题：
P ( ∣ X n − X ∣ > ϵ ) = P ( X n − X > ϵ ) + P ( X n − X < − ϵ ) = P ( X n > 0 + ϵ ) + P ( X n < − ϵ ) ≤ P ( X n > ϵ ) + P ( X n ≤ − ϵ ) ≤ 1 − F n ( ϵ ) + F n ( − ϵ ) → 1 − F ( ϵ ) + F ( − ϵ ) ≤ 1 − 1 + 0 = 0

P(∣Xn​−X∣>ϵ)​=P(Xn​−X>ϵ)+P(Xn​−X<−ϵ)=P(Xn​>0+ϵ)+P(Xn​<−ϵ)≤P(Xn​>ϵ)+P(Xn​≤−ϵ)≤1−Fn​(ϵ)+Fn​(−ϵ)→1−F(ϵ)+F(−ϵ)≤1−1+0=0​因此同样依概率收敛。其中，倒数第二个箭头是因为已经知道依分布收敛。