20220701 Barbalat引理证明

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前言

Barbalat引理在非线性系统的分析中引用广泛，本博文提供相应的证明。

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一、Barbalat 引理

(Barbalat 引理)
如果可微函数 $f(t)$, 当 $t\to \infty$ 时存在有限极限, 且 $\dot{f}(t)$ 一致连续, 那么当 $t\to \infty$ 时, $\dot{f}(t)\to 0$。

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二、反证法

证明（反证法）：
假设当 $t\to \infty$ 时，$\dot{f}(t)\to 0$ 不成立，那么存在一个递增无穷序列 { t n } n ∈ N \{t_n\}_{n\in\mathbb{N}} {tn​}n∈N​ 使得（1）当 $n\to \infty$ 有 $t_n\to \infty$ ；（2）$|\dot{f}(t_n)|⩾ϵ>0$ 对于所有 { t n } \{t_n\} {tn​}。

考虑 $\dot{f}(t)$ 的一致连续性，根据 $ϵ-\delta$ 理论，存在某个 $ϵ>0$ ，使得对于所有 $n\in \mathbb{N}$ 和 所有 $t\in \mathbb{R}$，当
$$|t_n-t|⩽\delta$$则有$$\left|\dot{f}\left(t_n\right)-\dot{f}(t)\right|\le \frac{ϵ}{2}$$

考虑 $\dot{f}(t_n)$的值和上式，可以知道 $\dot{f}\left(t_n\right)$和$\dot{f}(t)$一定是同符号。

因此，对于所有 $t\in [t_n,t_n+\delta ]$，和所有 $n\in \mathbb{N}$，有$$\begin{array}{r}|\dot{f}(t)|=\left|\dot{f}\left(t_n\right)-\left(\dot{f}\left(t_n\right)-\dot{f}(t)\right)\right|⩾\left|\dot{f}\left(t_n\right)\right|-\left|\dot{f}\left(t_n\right)-\dot{f}(t)\right|⩾ϵ-\frac{ϵ}{2}=\frac{ϵ}{2}\end{array}$$因此，对于所有$n\in \mathbb{N}$，有$$\left|{\int }_0^{t_n+\delta }\dot{f}(t)dt-{\int }_0^{t_n}\dot{f}(t)dt\right|=\left|{\int }_{t_n}^{t_n+\delta }\dot{f}(t)dt\right|={\int }_{t_n}^{t_n+\delta }|\dot{f}(t)|dt\ge \frac{ϵ\delta }{2}>0$$

可微函数 $f(t)$, 当 $t\to \infty$ 时存在有限极限，因此可知，${\int }_0^{\infty }\dot{f}(t)dt<\beta$ 存在，因此，当$n\to \infty$，$$\left|{\int }_0^{t_n+\delta }\dot{f}(t)dt-{\int }_0^{t_n}\dot{f}(t)dt\right|\to 0,$$和上式产生矛盾，因此反证法可证，当 $t\to \infty$ 时, $\dot{f}(t)\to 0$。

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三、连续和一致连续

什么是一致连续，和连续的区别是什么

一致的意思是“统一”

epsilon - sigma 对某点连续定义：

一致连续

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四、Cauchy数列

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