试图简单的理解一下量子比特的原理,定义的动机
该文章为个人理解,初学者建议不要看,以免被误导,大佬欢迎指正
高中时期,表示一个三角类函数 f ( t ) = a cos ( ω t + α ) f(t)=a\cos(\omega t+\alpha) f(t)=acos(ωt+α)
这里使用一种新的方式
利用
e
j
x
=
cos
x
+
j
sin
x
e^{jx}=\cos x+j\sin x
ejx=cosx+jsinx
f
(
t
)
=
Re
[
a
e
j
(
ω
t
+
α
)
]
=
Re
[
a
e
j
ω
t
e
j
α
]
f(t)=\text{Re}\left[ae^{j(\omega t+\alpha)}\right]=\text{Re}\left[ae^{j\omega t}e^{j\alpha}\right]
f(t)=Re[aej(ωt+α)]=Re[aejωtejα]
Re
[
c
]
\text{Re}[c]
Re[c]表示c的实数部分,
Im
[
c
]
\text{Im}[c]
Im[c]表示虚数部分,则其中这个函数的初相角就可以用
e
j
α
e^{j\alpha}
ejα表示
则对于函数 F ( t ) = a e j ω t F(t)=ae^{j\omega t} F(t)=aejωt,他在任意时刻,模长为 a a a,他的实部(即复数向量在实轴的投影)即为一个三角类函数
若要改变 F ( t ) F(t) F(t)的相位,只需乘上 e j α e^{j\alpha} ejα,可以使相位角改变 α \alpha α
用圆的半径来表示波函数的振幅,箭头的角度来表示相位
在量子力学中,一个粒子的状态是不确定的,在空间和时间中呈现概率的形态,只有观测时才会根据概率选择一个状态,被我们观测到。
经过大量的实验观测和统计,一群牛逼的科学家整理出一个规律:
比如对一个电子,有一个奇怪的复函数 Φ ( r , t ) \Phi(\bold r, t) Φ(r,t),其中 r \bold r r为空间位置, t t t为时间
然后发现复函数在 ( r 0 , t 0 ) (\bold r_0,t_0) (r0,t0)处的模长平方,即 ∣ Φ ( r 0 , t 0 ) ∣ 2 |\Phi(\bold r_0, t_0)|^2 ∣Φ(r0,t0)∣2,为电子在该空间位置和时间出现的概率
概率越大,电子打在该位置越多,就会形成亮斑
然后用双缝干涉实验,观测到了干涉现象,说明 Φ ( r , t ) \Phi(\bold r, t) Φ(r,t)是一个波函数,那么其也可用 Φ ( r , t ) = f ( r , t ) e j ω ( . . . ) \Phi(\bold r, t)=f(\bold r, t)e^{j\omega (...)} Φ(r,t)=f(r,t)ejω(...)的方式表示
对于传统计算机的比特,只有0和1两个状态,一般用高电压和低电压来表示
但经过量子力学的研究,我们也许可以找到一个神奇的东西(比如电子、光子等诡异的东西),具有一个波函数 Φ ( r ) \Phi(\bold r) Φ(r)。
让这个东西,被观测时呈现的两个完全不一样的(正交的)状态分别表示0和1,这两个状态分别表示为 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ \ket 0,\ket 1 ∣0⟩,∣1⟩,比如电子是否出现在该位置。
电子不出现的概率表示用波函数表示可能为 Φ 0 ( r 0 ) = a e j η , a 为振幅 , η 为相位 \Phi_0(\bold r_0)=ae^{j\eta},a为振幅,\eta为相位 Φ0(r0)=aejη,a为振幅,η为相位,那么该不出现的概率为 ∣ Φ 0 ( r 0 ) ∣ 2 = a 2 |\Phi_0(\bold r_0)|^2=a^2 ∣Φ0(r0)∣2=a2
同理电子出现在该位置 Φ 1 ( r 0 ) = b e j ϕ , b 为振幅 , ϕ 为相位 \Phi_1(\bold r_0)=be^{j\phi},b为振幅,\phi为相位 Φ1(r0)=bejϕ,b为振幅,ϕ为相位,那么该不出现的概率为 ∣ Φ 1 ( r 0 ) ∣ 2 = b 2 |\Phi_1(\bold r_0)|^2=b^2 ∣Φ1(r0)∣2=b2
显然必须满足 a 2 + b 2 = 1 a^2+b^2=1 a2+b2=1
一个电子有一定概率出现,有一定概率不出现,把这种情况作为一个量子比特,定义为
∣
ψ
⟩
=
a
e
j
η
∣
0
⟩
+
b
e
j
ϕ
∣
1
⟩
\ket \psi=ae^{j\eta}\ket 0+be^{j\phi}\ket 1
∣ψ⟩=aejη∣0⟩+bejϕ∣1⟩
但实际上,知道两个状态的相位是没有意义的,我们只需要两个状态的相位差就可以了。所以可以把定义修改为
∣
ψ
⟩
=
a
∣
0
⟩
+
b
e
j
ϕ
∣
1
⟩
\ket \psi=a\ket 0+be^{j\phi}\ket 1
∣ψ⟩=a∣0⟩+bejϕ∣1⟩
由于
a
,
b
a,b
a,b满足
a
2
+
b
2
=
1
a^2+b^2=1
a2+b2=1
那么其实可以把
a
,
b
a,b
a,b换为角度表示,定义修改为
∣
ψ
⟩
=
cos
θ
2
∣
0
⟩
+
e
j
ϕ
sin
θ
2
∣
1
⟩
\ket \psi=\cos \frac \theta 2\ket 0+e^{j\phi}\sin \frac \theta 2\ket 1
∣ψ⟩=cos2θ∣0⟩+ejϕsin2θ∣1⟩
然后根据这个角度,甚至可以把它画在球上(Bloch sphere),注意这种可视化与几何意义的向量完全没有关系
了解意义之后,可以将其简化,设有复数KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 7: a,b\in\̲C̲,那么
∣
ψ
⟩
=
a
∣
0
⟩
+
b
∣
1
⟩
=
(
a
b
)
∣
0
⟩
=
(
1
0
)
,
∣
1
⟩
=
(
0
1
)
\ket \psi=a\ket 0+b\ket 1 =
从此,关于量子比特的运算都可以使用线性代数的运算(加、减、数乘、矩阵乘法)
对于转置,需要注意转置的同时将复数共轭,
⟨
ψ
∣
=
a
∗
⟨
0
∣
+
b
∗
⟨
1
∣
\bra \psi = a^*\bra 0 + b^*\bra 1
⟨ψ∣=a∗⟨0∣+b∗⟨1∣
因为共轭之后有些好用的性质,如量子比特的点积
定义 ∣ ψ ⟩ = a 0 ∣ 0 ⟩ + a 1 ∣ 1 ⟩ , ∣ ϕ ⟩ = b 0 ∣ 0 ⟩ + b 1 ∣ 1 ⟩ \ket \psi=a_0\ket 0+a_1\ket 1,\ket \phi=b_0\ket 0+b_1\ket 1 ∣ψ⟩=a0∣0⟩+a1∣1⟩,∣ϕ⟩=b0∣0⟩+b1∣1⟩
点积为
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
=
(
a
0
∗
a
1
∗
)
(
b
0
b
1
)
=
a
0
∗
b
0
+
a
1
∗
b
0
\Braket{\psi|\phi}=
于是就有性质
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
a
0
a
0
∗
+
a
1
a
1
∗
=
∣
a
0
∣
2
+
∣
a
1
∣
2
=
1
=
∣
∣
ψ
⟩
∣
2
\Braket {\psi|\psi}=a_0a_0^*+a_1a_1^*=|a_0|^2+|a_1|^2=1=\left|\ket \psi\right|^2
⟨ψ∣ψ⟩=a0a0∗+a1a1∗=∣a0∣2+∣a1∣2=1=∣∣ψ⟩∣2
由波函数的性质可以得来
测量 ∣ ψ ⟩ \ket \psi ∣ψ⟩处于状态 ∣ x ⟩ \ket x ∣x⟩的概率为 ∣ ⟨ x | ψ ⟩ ∣ 2 \left|\Braket{x|\psi}\right|^2 ∣⟨x∣ψ⟩∣2,即 ∣ ψ ⟩ \ket \psi ∣ψ⟩在 ∣ x ⟩ \ket x ∣x⟩方向上投影的模长平方
如可以计算出$|q_0\rangle= \tfrac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \tfrac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle \$的概率为各一半
∣
q
0
⟩
=
1
2
∣
0
⟩
+
i
2
∣
1
⟩
⟨
0
∣
q
0
⟩
=
1
2
⟨
0
∣
0
⟩
+
i
2
⟨
0
∣
1
⟩
=
1
2
⋅
1
+
i
2
⋅
0
=
1
2
∣
⟨
0
∣
q
0
⟩
∣
2
=
1
2
将该向量画出来即为
x
x
x轴,及如下公式
ϕ
=
0
,
θ
=
π
2
\phi=0,\theta=\frac \pi 2
ϕ=0,θ=2π时
∣
ψ
⟩
=
cos
θ
2
∣
0
⟩
+
e
j
ϕ
sin
θ
2
∣
1
⟩
\ket \psi=\cos \frac \theta 2\ket 0+e^{j\phi}\sin \frac \theta 2\ket 1
∣ψ⟩=cos2θ∣0⟩+ejϕsin2θ∣1⟩
可以看出, ∣ ψ ⟩ \ket \psi ∣ψ⟩到x轴y轴平面的投影,对x轴的夹角 φ \varphi φ即为相位,对实际 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ \ket 0,\ket 1 ∣0⟩,∣1⟩的概率没有影响
∣ ψ ⟩ \ket \psi ∣ψ⟩在这个球上几何向量到z轴的投影,到两端的距离,可以表示出该量子比特被观测到 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ \ket 0 ,\ket 1 ∣0⟩,∣1⟩的概率比值
(这个球上的投影,和测量时点积表示的投影,不是一个概念)
比如 x x x轴投影到z轴后,到 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ \ket 0,\ket 1 ∣0⟩,∣1⟩的距离相等,于是观测时概率相等
如果 θ = π 3 \theta=\frac \pi 3 θ=3π,则其投影到z轴为原点到 ∣ 0 ⟩ \ket 0 ∣0⟩中点,概率比值为1:3,与计算相符。