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一、多项式及其函数

（一）多项式的表达式和创建

$MATLAB$中使用一维向量来表示多项式，将多项式的系数按照降幂次序存在在向量中，其具体表示方法如下：
$P(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\Rightarrow [a_0,a_1,...,a_{n-1},a_n]$
例如，多项式$2x^4+3x^3+5x^2+1$就可以用向量$[2,3,5,0,1]$

对于系数为0的项依然要在向量中出现
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function s = pprintf(p)
%pprintf 该函数可将一维向量转变为字符串格式的数学表达式 %   p：输入参数，格式为一维向量 %   s：输出参数，格式为字符串
if nargin>1         %输入参数过多时的判断
    error('Too much input arguements');
end
while(p(1)==0)      %输入向量的元素全为0
    p(1)=[];
end
L=length(p);         %计算向量长度
s='';
for v=1:L
    if p(v)==0       %当常数项为0
        continue;
    elseif L==1      %当向量长度为1
        s=strcat(num2str(p(v)));
    elseif v==L      %当v为向量最后一个值
        s=strcat(s,'+',num2str(p(v)));
    elseif v==1      %当v为向量第一个值
        s=strcat(num2str(p(v)),'x^{',num2str(L-v),'}');
    elseif p(v)==1   %当向量元素的值为1
        s=strcat(s,'+','x^{',num2str(L-v),'}');
    else
        s=strcat(s,'+',num2str(p(v)),'x^{',num2str(L-v),'}');
    end
end
end
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（二）多项式求根(roots())、由根创建多项式(poly())

1.特定函数roots可以求解一个多项式的根
	返回结果为解的向量
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2.使用函数poly由根构造相应的多项式
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（三）多项式的四则运算

1.多项式加法
	当阶次相同时，多项式相加与数组相加的规则一致；
	当阶次不同时，要先对低阶多项式补零，再进行相加
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function p = ppadd(a,b)
% 实现阶次不同的多项式相加
if nargin<2
    error('Not enough input arguments')
end
a=a(:).';
b=b(:).';
na=length(a);
nb=length(b);
p=[zeros(1,nb-na),a]+[zeros(1,na-nb),b];
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2.多项式乘法
		MATLAB中，函数conv支持多项式乘法（运算法则为两个数组的卷积）
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3.多项式除法
	MATLAB中，函数deconv支持多项式除法（使用长除法进行解卷积，同时返回商和余数）
	[c,r]=deconv(b,a) c为商，r为余数，此时满足 b==conv(a,c)+r
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（四）多项式的导数polyder、积分polyint、计算函数值polyval

1.多项式的导数
	MATLAB中，函数polyder可以用于多项式求导
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2.多项式的积分
	MATLAB中，函数polyint可以用于多项式积分，其具体句法格式如下：
	polyint(P,k) 返回多项式P的积分，积分常数项为k，k默认值为0
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3.多项式求函数值
	MATLAB中，函数polyval可以用于多项式计算函数值
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（五）多项式运算函数及操作指令

	以上多项式操作函数在MATLAB中不存在已有函数可以实现
	之前已经介绍了pprintf（向量到字符串变换）、ppadd（多项式加法）
	再补充一下psim（多项式简化）
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function y = psim(x,tol  )
%   psim删除多项式中近似为零的第一个系数
if nargin<2,tol=norm(x)*1000*eps;end
x=x(:).';%保证输入是行向量
i=find(abs(x)<.99&abs(x)<tol);
x(i)=zeros(1,length(i));
i=find(x~=0);
if isempty(i)
    y=0;
else
    y=x(i(1):length(x));
end
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（六）有理多项式（部分分式展开，求导）

在许多应用中，例如傅里叶$(Fourier)$、拉普拉斯$(Laplace)$和$Z$变换中，出现了两个多项式之比
在$MATLAB$中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示
$$\frac{b(x)}{a(x)}=\frac{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+...+b_{m-1}x+b_m}{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n}$$

1.多项式的展开 residue函数
	[r,p,k]=residue(b,a)
	函数residue返回两个多项式之比的部分分式展开的留数r、极点p和直接项k

	[b,a]=residue(r,p,k)
	逆过程，得到分子多项式和分母多项式
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residue讲解

2.有理多项式的求导
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二、数据插值（近似表达式预测插值点）

（一）概述：插值问题

插值问题，其数学定义如下：
由实验或测量的方法得到函数$y=f(x)$在互异点$x_0,x_1,...,x_n$处的数值$y_0,y_1,...,y_n$，然后构造一个函数$\phi (x)$作为$y=f(x)$的近似表达式，即$y=f(x)\approx \phi (x)$，使得$\phi (x_0)=y_0,\phi (x_1)=y_1,...,\phi (x_n)=y_n$

这类问题叫作插值问题，$y=f(x)$称为被插函数，$\phi (x)$称为插值函数，$x_0,x_1,...,x_n$称为插值节点

插值的任务就是由已知的观测点为物理量建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点的特性
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（二）一维插值 interp1()

当被插值函数y=f(x)为一元函数时，为一维插值，MATLAB中使用interp1函数实现一维插值，其调用格式如下：
Vq=interp1(X,V,Xq,METHOD) X为自变量的范围；V为函数值，或者V为长度与X一致的向量；Xq为插值点向量或数组；METHOD为字符串变量，用来设定插值方法

MATLAB提供以下几种插值方法：
MATHOD='nearst' 最邻近插值，插值点函数值估计为与该插值点最近的数据点函数值
				至少提供2个点，速度最快，但平滑性最差

MATHOD='linear' 线性插值，根据相邻数据点的线性函数估计落在该区域内插值数据点的函数值
				默认方法，至少提供2个点，结果连续，但顶点斜率会改变

MATHOD='spline' 三次样本插值，在相邻数据点间建立三次多项式函数，根据多项式函数确定插值数据点的函数值
				至少提供4个点，速度最慢，平滑性最好，但如果输入数据不一致或数据点过近，就可能出现很差的插值结果

MATHOD='pchip'或'cubic' 立方插值，通过分段立方Hermite插值方法计算插值结果 
						至少提供4个点，若
MATHOD='v5cubic' 用MATLAB5版本中断三次样本插值,cubic将在未来的版本中取代v5cubic
				 点必须均匀间隔
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选择一种插值方法，需要考虑运算时间、占用内存大小和插值的光滑程度

运算时间与占用内存的比较：
$$nearest\approx next\approx previous<liner<pchip(cubic)<spline$$

1.分段线性插值 （liner）默认方法
分段线性插值的算法是在每个小区间$[x_i,x_{i+1}]$上采用简单的线性插值，在区间$[x_i,x_{i+1}]$上的子插值多项式为：
$$F_i=\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}f(x_i)+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}f(x_{i+1})$$
在此整个区间$[x_i,x_n]$上的插值函数为：$F(x)={\sum }_{i=1}^n{F}_i{l}_i(x)$
其中$l_i(x)$的定义如下：
l i ( x ) = { x − x i − 1 x i − x i − 1 x ∈ [ x i − 1 , x i ] x − x i + 1 x i − x i + 1 x ∈ [ x i , x i + 1 ] 0 x ∉ [ x i − 1 , x i + 1 ] l_i(x)=

li​(x)=⎩ ⎨ ⎧​xi​−xi−1​x−xi−1​​xi​−xi+1​x−xi+1​​0​x∈[xi−1​,xi​]x∈[xi​,xi+1​]x∈/[xi−1​,xi+1​]​

默认采用分段线性插值

2.一维快速傅里叶插值（interpft）
一维快速傅里叶插值通过函数$interpft()$来实现，该函数用傅里叶变换把输入数据变换到频域，然后用更多点的傅里叶逆变换变回时域，其结果是对数据进行增采样

interpft()调用格式如下：
y=interpft(x,n) 对x进行傅里叶变换，然后使用n点傅里叶逆变换变回到时域
				如果x是一个长度为m、采样间隔为dx的向量，则数据y的采样间隔就是mdx/n，要注意n不能小于m
				如果x是矩阵，对x的列进行插值操作，返回一个矩阵y，y与x列数相同，但y有n行
y=interpft(x,n,dim) 在dim指定的维度上进行操作
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（三）二维插值

当被插值函数y=f(x)为二元函数时，为二维插值，MATLAB中使用interp1函数实现一维插值，其调用格式如下：
Vq=interp2(X,Y,V,Xq,Yq,METHOD) XYV是相同大小的矩阵，V(i,j)是数据点[X(i,j),Y(i,j)]上的函数值；Xq、Yq是待插值数据网格，Method为插值方法
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插值方法与一维插值特点类似，具体实现上有变化

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三、函数极限

（一）极限概念

设 { x n } \{x_n\} {xn​}为数列，$a$为常数。若对任给的正数$\epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时有$|x_n-a|<\epsilon$，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛于$a$，常数$a$称为数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的极限，并记作：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=a$$

（二）求极限的函数 limit()

在MATLAB中采用limit函数求某个具体函数的极限，其常用的调用格式如下：
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syms在matlab中的作用是：定义符号变量。

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四、函数数值积分

定积分的计算可用牛顿-莱布尼茨公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
其中$F(x)$是$f(x)$的原函数之一，可用不定积分求出

但在实际应用上述公式时，却有一系列问题

数值积分便是为了解决上述问题而提出来的，数值积分只需计算$f(x)$在节点$x_i(i=1,2,..,n)$上的值，计算方便且适合在计算机上实现

（一）数值积分问题的数学表述

区间$[a,b]$上的定积分${\int }_a^{b}f(x)dx$，就是在区间$[a,b]$内取$n+1$个点$x_0,x_1,...,x_n$利用被积函数$f(x)$在这$n+1$个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即
$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$

其中，$x_k$称为积分节点，$A_k$称为求积系数，右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式
因此，求积分的关键在于积分节点$x_k$的选取及积分系数$A_k$的确定

MATLAB支持三重以下的积分运算

（二）一元函数的数值积分 quad/quadl/quadv

1.quad函数
	quad采用遍历的自适应辛普森(Simpson)法计算函数的数值积分，适用于精度要求低、被积函数平滑性较差的数值积分，常用调用格式如下：
	q = quad(fun,a,b) fun为函数句柄，fun应接收向量输入并返回相同长度的向量；a与b为积分起始值与结束值
	q = quad(fun,a,b,tol) tol默认为1e-6，tol增大可以加快计算速度，但有损计算精度
	q = quad(fun,a,b,tol,trace) trace非零时，展示计算过程中的[fcnt,a,b-a,q]，fcnt表示函数计算次数
	[q,fcnt] = quad(...) 
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2.quadl函数
quadl采用遍历的自适应Lobatto法计算函数的数值积分，适用于精度要求高、被积函数曲线比较平滑的数值积分，常用调用格式与quad一致
通常quad函数具有较快的计算速度，但准确性较差；而quadl函数较慢却准确度较高
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3.quadv函数
quadv函数是quad函数的矢量扩展，因此也称为矢量积分，可以一次计算多个一元函数的数值积分值
其用法与quad函数一致，不过矢量积分的返回结果是一个向量
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上图就是同时计算了10个函数的数值积分值

（三）多重数值积分 dblquad/triplequad

1.二重数值积分计算函数 dblquad
$dblquad$函数可以计算在矩形区域 $x\in [x_{min},x_{max}],y\in [y_{min},y_{max}]$内的数值积分值

调用格式如下：	
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) tol默认为1e-6
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method) method表示指定计算一维积分时用的方法，默认为quad，@quadl表示采用quadl
												也可为用户自己编写的函数的函数句柄，但要保证调用序列与quad一致
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2.三重数值积分计算函数 triplequad
$triplequad$函数可以计算在空间区域 $x\in [x_{min},x_{max}],y\in [y_{min},y_{max}],z\in [z_{min},z_{max}]$内的数值积分值
调用格式如下：
q = triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)
q = triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
q = triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
参数含义与dblquad一致

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