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一、因子分解机

  因子分解机在传统逻辑回归的基础上，加入了二阶部分，使模型具备了进行特征组合的能力 。更进一步，在因子分解机基础上发展出来的域感知因子分解机( Field-aware Factorization Machine， FFM) 则通过加入特征域的概念，进一步加强了因子分解机特征交叉的能力。

逻辑回归模型表达能力不强的问题，会不可避免地造成有效信息的损失，仅利用单特征而非交叉特征进行判断的情况下，有时不仅是信息损失的问题，甚至会得出错误的结论，比如：“辛普森悖论”。此时，就需要特征交叉。

1.POLY2——二项特征交叉

  针对特征交叉的问题，算法工程师经常采用先手动组合特征，再通过各种分析手段筛选特征的方法，但该方法无疑是低效的。更遗憾的是，人类的经验往往有局限性，程序员的时间和精力也无法支撑其找到最优的特征组合。因此，采用POLY2 模型进行特征的"暴力"组合成了可行的选择。
  POLY2 模型的数学形式如下：
$$\varphi POLY2(w,x)=\sum _{j_1=1}^n\sum _{j_2=j_1+1}^n{w}_{h_{(}{j}_1,j_2)}{x}_{j_1}{x}_{j_2}$$

可以看到，该模型对所有特征进行了两两交叉(特征$x_{j_1}{x}_{j_2}$)，并对所有的特征组合赋予权重$w_{h_{(}{j}_1,j_2)}$。POLY2 通过暴力组合特征的方式，在一定程度上解决了特征组合的问题。POLY2 模型本质上仍是线性模型，其训练方法与逻辑回归并无区别，因此便于工程上的兼容。
POLY2 模型存在两个缺陷：

1. 在处理互联网数据时，经常采用 one-hot 编码的方法处理类别型数据，致使特征向量极度稀疏， POLY2 进行无选择的特征交叉——原本就非常稀疏的特征向量更加稀疏，导致大部分交叉特征的权重缺乏有效的数据进行训练，无法收敛。
2. 权重参数的数量由$n$直接上升到 $n^2$ ，极大地增加了训练复杂度。

2.FM 模型一一隐向量特征交叉

  为了解决 POLY2 模型的缺陷，提出了FM模型。

2.1 数理推导

  FM的原始模型方程为：
$$\hat{y}(x)=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n<w_i,w_j>x_i{x}_j$$
这个式子的前两项就是一个简单的线性函数。主要分析二阶部分。
  FM的二阶部分学习形式为：
$$\varphi FM(w,x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n<w_i,w_j>x_i{x}_j$$
如果直接按照上面这个公式计算的话，复杂度就是$O(n^2)$。可以对其进行化解，优化成复杂度为$O(kn)$的线性复杂度，推导过程如下：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n<w_i,w_j>x_i{x}_j \\ =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n<w_i,w_j>x_i{x}_j-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n<w_i \end{gathered}$$