K-hop消息传递图神经网络的表达能力有多强？

论文地址：How Powerful are K-hop Message Passing Graph Neural Networks

一.论文概述

近些年，从空域角度定义的图神经网络（Graph Neural Network, GNN）的工作较多。该类GNN大都遵从经典的消息传递范式，即节点聚合来自本身1-hop邻居的消息并结合自己的特征来生成自己新的节点特征，作者称之为1-hop消息传递。对GIN等工作有所了解的人都清楚，根据1-hop消息传递定义的GNN的表达能力上限为Weisfeiler-Lehman test（1-WL test）。为了获取更具表达能力的GNNs，有学者提出了$k$-hop消息传递，该类GNN的表达能力显然超过1-hop消息传递，但缺乏理论分析。基于此现状，作者先从理论角度对$k$-hop消息传递的表达能力进行了分析，并提出了$\text{KP-GNN}$框架，该框架通过整合外围（peripheral）子图信息来进一步改进$k$-hop消息传递。实验结果表明作者提出的$\text{KP-GNN}$在众多benchmark数据集上都取得了有竞争力的结果。

二.K-hop消息传递

2.1 K-hop的定义

$K$-hop消息传递指的是图节点在更新自己的表示向量的时候，不是仅聚合来自邻居（1-hop）的消息，而是聚合来自$k$-hop内所有邻居的消息。目前，有两种不同的$k$-hop邻居定义：

• 基于图扩散（Graph Diffustion, GD） 的定义：图$G$中节点$v$的$k$-hop邻居指经过$k$步随机游走能达到$v$的节点集，文中用${\mathcal{N}}_{v,G}^{K,gd}$ 表示。
• 基于最短路径距离（Shortest Path Distance， SPD） 的定义：图$G$中节点$v$的$k$-hop邻居指**与其最短路径距离为$k$**的节点集，文中用${\mathcal{N}}_{v,G}^{K,spd}$表示。

下图便包含了两种$k$-hop邻居定义的示例：以Example1为例，对于$G^{(1)}$中的节点$v1$，根据GD的定义其1-hop邻居包括 { 2 , 3 , 4 } \{2,3,4\} {2,3,4}，2-hop邻居包括 { 2 , 3 , 4 , 5 } \{2,3,4,5\} {2,3,4,5}，而根据$SPD$的定义其1-hop邻居包括 { 2 , 3 , 4 } \{2,3,4\} {2,3,4}，2-hop邻居包括 { 5 , 6 } \{5,6\} {5,6}。

2.2 K-hop消息传递框架

基于上述关于$k$-hop邻居的定义，下面给出$k$-hop消息传递框架的正式数学形式：
m v l , k = MES ⁡ k l ( { { ( h u l − 1 , e u v ) ∣ u ∈ Q v , G k , t ) } ) , h v l , k = UPD ⁡ k l ( m v l , k , h v l − 1 ) , h v l = COMBINE ⁡ l ( { { h v l , k ∣ k = 1 , 2 , … , K } ) , .

mvl,k​=MESkl​({{(hul−1​,euv​)∣u∈Qv,Gk,t​)}),hvl,k​=UPDkl​(mvl,k​,hvl−1​),hvl​=COMBINEl({{hvl,k​∣k=1,2,…,K}),.​
其中 t = { s p d , g d } t = \{spd, gd\} t={spd,gd}，表示两种不同的$k$-hop定义，$m_v^{l,k}$表示聚合来自$Q_{v,G}^{k,t}$的消息，$h_v^{l,k}$表示根据自己上一轮的特征和聚合来自$k$-hop邻居的消息生成的节点$v$的表示。从该公式可以看出，节点最终的表示$h_v^l$是不同$k$-hop的消息传递所得到的特征的组合。

2.3 K-hop消息传递框架的表达能力

结论：当$K>1$时，$K$-hop消息传递严格比1-WL test表达能力更强大。

说明：对于$K$-hop消息传递GNNs，只要两个节点在$K$-hop内有区别，$K$-hop消息传递GNN就能区分。而这对于1-hop消息传递GNNs来说是确不一定，例如对于regular图，每个节点都具有相同的度，1-hop消息传递GNNs是区分不了的。以上图中的Example 2为例，$G^{(1)}$中的$v_1$和$G^{(2)}$中的$v_2$的1-hop邻居是相同的，但是倘若使用$k$-hop邻居，则通过2-hop邻居就可以将二者区分了。

2.4 K-hop消息传递框架的限制

作者指出现在提出的$k$-hop消息传递框架存在一些缺陷。前面提到$K$-hop的两种定义，作者指出不同定义的选择会影响$K$-hop消息传递的表达能力。还是以上图以为，对于Example 1中的两个示例节点，若选用GD的定义，两个节点$v_1$和$v_2$的2-hop邻居是可以区分的，但若选择SPD，则这两个节点是没法去区分的，Example 2也类似。也就是说，没有哪种定义的2-hop消息传递可以同时区分两者。

三.KP-GNN框架详解

作者提出通过添加外围（peripheral）子图信息来提高$K$-hop消息传递的表达能力。

3.1 外围边和外围子图

外围边指$Q_{v,G}^{k,t}$节点集中节点间的边，用符号来$E(Q_{v,G}^{k,t})$表示。外围子图指由$Q_{v,G}^{k,t}$产生的诱导子图，用符号$G_{v,G}^{k,t}=(Q_{v,G}^{k,t},E(Q_{v,G}^{k,t}))$来表示。

以Example 1为例，在1-hop中，左边的图中在节点3和节点4间存在一条边，即$E(Q_{v_1,G^{(1)}}^{1,t})=\{(3,4)\}$，而对于右边的图 E ( Q v 2 , G ( 2 ) 1 , t ) = { } E(Q_{v_{2}, G^{(2)}}^{1, t})=\{\} E(Qv2​,G(2)1,t​)={} ，因此添加该信息可以成功的区分两个节点。

3.2 K-hop 外围子图增强图神经网络

$\text{KP-GNN}$与上述$K$-hop消息传递的范式相差不大，区别在消息函数上：
h ^ v l , k = MES ⁡ k l ( { { ( h u l − 1 , e u v ) ∣ u ∈ Q v , G k , t } , G v , G k , t ) \hat{h}_{v}^{l, k}=\operatorname{MES}_{k}^{l}(\{\{(h_{u}^{l-1}, e_{u v}) \mid u \in Q_{v, G}^{k, t}\}, G_{v, G}^{k, t}) h^vl,k​=MESkl​({{(hul−1​,euv​)∣u∈Qv,Gk,t​},Gv,Gk,t​)
从上述消息传递公式看出，在第$k$hop的消息步骤中，不仅聚合了邻居的信息，还聚合了第$k$ hop的外围子图。$\text{KP-GNN}$的实现非常灵活，可以适用于任何图编码函数。为了在保持简单的同时最大化模型可以编码的信息，作者将消息函数实现为：
$${\mathrm{MES}}_k^l={\mathrm{MES}}_k^{l,normal}(\{(h_u^{l-1},e_{uv})\mid u\in Q_{v,G}^{k,t}\})+\sum _{c\in C}\frac{1}{|C|}\sum _{(i,j)\in E(Q_{v,G}^{k,t}{)}_c}{e}_{ij},$$
其中 ${\mathrm{MES}}_k^{l,\text{ normal }}$表示原始GNN模型的消息函数，$C$是$G_{v,G}^{k,t}$的连通分量集。$E(Q_{v,G}^{k,t}{)}_c$是$G_{v,G}^{k,t}$的第$c$个连通分量对应的边集。这种实现帮助$\text{KP-GNN}$不仅编码 $E(Q_{v,G}^{k,t})$，而且能编码$G_{v,G}^{k,t}$的部分信息（分量数）。

四.实验

作者以GIN作为baseline，并于其它表达能力更强的GNN（GIN-AK+，PNA，PPGN）进行了对比。对于作者的KP-GNN，作者实现了KP-GIN+，此外，作者还实现了KP-GIN的正常$K$-hop版本（没有额外用外围子图增强）。

从实验结果可以看出，作者设计的模型$\text{KP-GNN}$的框架能得到富有竞争力的结果。