04.4. 模型选择、欠拟合和过拟合

04.4. 模型选择、欠拟合和过拟合

4.4.1. 训练误差和泛化误差

• 训练误差（training error）
  是指， 模型在训练数据集上计算得到的误差。

• 泛化误差（generalization error）
  是指， 模型应用在同样从原始样本的分布中抽取的无限多数据样本时，模型误差的期望

4.4.1.1. 统计学习理论

独立同分布假设（i.i.d. assumption）
假设训练数据和测试数据都是从相同的分布中独立提取

4.4.1.2. 模型复杂性

统计学家认为，能够轻松解释任意事实的模型是复杂的， 而表达能力有限但仍能很好地解释数据的模型可能更有现实用途。

介绍几个倾向于影响模型泛化的因素：

• 可调整参数的数量。当可调整参数的数量（有时称为自由度）很大时，模型往往更容易过拟合。

• 参数采用的值。当权重的取值范围较大时，模型可能更容易过拟合。

• 训练样本的数量。即使你的模型很简单，也很容易过拟合只包含一两个样本的数据集。而过拟合一个有数百万个样本的数据集则需要一个极其灵活的模型。

4.4.2. 模型选择

通常在评估几个候选模型后选择最终的模型。 这个过程叫做模型选择。
例如，训练多层感知机模型时，我们可能希望比较具有 不同数量的隐藏层、不同数量的隐藏单元以及不同的激活函数组合的模型。 为了确定候选模型中的最佳模型，我们通常会使用验证集。

4.4.2.1. 验证集

验证数据集（validation dataset）， 也叫验证集（validation set）

数据分成三份， 训练、验证和测试数据集之外

4.4.2.2. 折交叉验证

• 原始训练数据被分成K个不重叠的子集。
• 然后执行K次模型训练和验证，每次在K-1 个子集上进行训练， 并在剩余的一个子集（在该轮中没有用于训练的子集）上进行验证。
• 最后，通过对K次实验的结果取平均来估计训练和验证误

4.4.3. 欠拟合还是过拟合

• 欠拟合（underfitting）

• 过拟合（overfitting）

4.4.3.1. 模型复杂性

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4.4.3.2. 数据集大小

4.4.4. 多项式回归

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
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4.4.4.1. 生成数据集

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)


# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]
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4.4.4.2. 对模型进行训练和测试

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]
    
    
def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())
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4.4.4.3. 三阶多项式函数拟合(正常)

我们将首先使用三阶多项式函数，它与数据生成函数的阶数相同。 结果表明，该模型能有效降低训练损失和测试损失

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
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4.4.4.4. 线性函数拟合(欠拟合)

让我们再看看线性函数拟合，减少该模型的训练损失相对困难。 在最后一个迭代周期完成后，训练损失仍然很高。 当用来拟合非线性模式（如这里的三阶多项式函数）时，线性模型容易欠拟合。

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
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4.4.4.5. 高阶多项式函数拟合(过拟合)

现在，让我们尝试使用一个阶数过高的多项式来训练模型。 在这种情况下，没有足够的数据用于学到高阶系数应该具有接近于零的值。 因此，这个过于复杂的模型会轻易受到训练数据中噪声的影响。 虽然训练损失可以有效地降低，但测试损失仍然很高。 结果表明，复杂模型对数据造成了过拟合。

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)
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4.4.5. 小结¶

• 欠拟合是指模型无法继续减少训练误差。过拟合是指训练误差远小于验证误差。

• 由于不能基于训练误差来估计泛化误差，因 此简单地最小化训练误差并不一定意味着泛化误差的减小。机器学习模型需要注意防止过拟合，即防止泛化误差过大。

• 验证集可以用于模型选择，但不能过于随意地使用它。

• 我们应该选择一个复杂度适当的模型，避免使用数量不足的训练样本