设 x 0 x_0 x0是函数 f f f的一个极值点，如果 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)存在，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
设
x
0
x_0
x0为
f
f
f的极小值点，则
∃
ρ
>
0
\exist\rho>0
∃ρ>0，使得当
∣
x
−
x
0
∣
<
ρ
|x-x_0|<\rho
∣x−x0∣<ρ时，有
f
(
x
)
≥
f
(
x
0
)
f(x)\geq f(x_0)
f(x)≥f(x0)
于是当
x
0
<
x
<
x
0
+
ρ
x_0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
≥
0
\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0
x−x0f(x)−f(x0)≥0
由于
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)存在，所以
f
′
(
x
0
)
=
f
+
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
≥
0
f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0
f′(x0)=f+′(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)≥0
而当
x
0
−
ρ
<
x
<
x
0
x_0-\rho
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
≤
0
\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0
x−x0f(x)−f(x0)≤0
由于
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)存在，所以
f
′
(
x
0
)
=
f
−
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
≤
0
f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0
f′(x0)=f−′(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)≤0
综上所述， f ′ ( x 0 ) ≥ = 0 , f ′ ( x 0 ) ≤ 0 f'(x_0)\geq=0,f'(x_0)\leq 0 f′(x0)≥=0,f′(x0)≤0，所以 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
思路： 通过极值点在某个邻域内最大（最小），运用左导数 = = =右导数，证明 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0