【线性代数】P2 余子式与代数余子式&异乘变零定理

第i行第j列元素的余子式表示为：M_ij
第i行第j列元素的代数余子式表示为：A_ij

余子式

那么存在第三行第二个的余子式：去掉所在行所在列所有元素：

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代数余子式

那么存在第三行第二个的代数余子式：余子式加上符号

观察可以发现余子式与代数余子式的关系：

且代数余子式的展开可以求得行列式D的值：

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代数余子式求行列式D的值

假设有行列式D：

可通过代数余子式求和的方法求解行列式D的值：

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异乘变零定理

定理：行列式中某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0。

举例证明：

用第四行元素与第一行元素的代数余子式相乘得到D’：

我们先不求其值，更改行列式D的第一行，使得满足新行列式B=0，有：

求行列式B的值，使用代数余子式求值进行展开：

可以发现B的展开与D’的展开相同，所以D’=B=0