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  • 水塘抽样算法与等概率证明


    文章目录

    • 水塘抽样
      • 一、一般的抽样算法
      • 二、水塘抽样算法
        • 1、抽样过程
        • 2、等概率证明
        • 3、水塘抽样的优势
      • 三、算法练习

    水塘抽样

    一、一般的抽样算法

    对于数据流中的数据,我们将其存储到容器中,并使用随机数取出[0, n)的任意一个元素,完成等概率抽样。

    该算法的时间与空间复杂度均为O(n)。

    • 优点:简单易实现
    • 缺点:数据量过大时,将所有数据存入容器会有内存溢出问题。

    二、水塘抽样算法

    水塘抽样算法用于:在数据流中以O(n)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度完成等概率抽样。

    1、抽样过程

    对于数据流中的第i个数,它有 1/i 的概率被替换为本轮随机抽样的结果:

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (rand() % i == 0) // 1/i的概率
            ans = array[i];
    }
    return ans;
    
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    2、等概率证明

    水塘抽样的算法实现也非常简单,现在给出其证明过程:

    假设第i个值被抽取,则[i+1, n]都没有被抽取,即:
    P ( 第 i 个被抽取 ) = 1 / i ∗ P ( 第 i + 1 个没被抽取 ) ∗ . . . ∗ P ( 第 n 个没被抽取 ) = 1 / i ∗ i / ( i + 1 ) ∗ ( i + 1 ) / ( i + 2 ) ∗ . . . ∗ ( n − 1 ) / n = 1 / n

    P(第i个被抽取)=1/i∗P(第i+1个没被抽取)∗...∗P(第n个没被抽取)=1/i∗i/(i+1)∗(i+1)/(i+2)∗...∗(n−1)/n=1/n" role="presentation">P(第i个被抽取)=1/i∗P(第i+1个没被抽取)∗...∗P(第n个没被抽取)=1/i∗i/(i+1)∗(i+1)/(i+2)∗...∗(n−1)/n=1/nP(第i个被抽取)=1/i∗P(第i+1个没被抽取)∗...∗P(第n个没被抽取)=1/i∗i/(i+1)∗(i+1)/(i+2)∗...∗(n−1)/n=1/n
    P(第i个被抽取)​=1/i∗P(第i+1个没被抽取)∗...∗P(第n个没被抽取)=1/i∗i/(i+1)∗(i+1)/(i+2)∗...∗(n−1)/n=1/n​​

    3、水塘抽样的优势

    1. 不需要预先知道数据总量为多少。
    2. 空间复杂度为O(1)。

    三、算法练习

    LeetCode 382. 链表随机节点

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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/Wyf_Fj/article/details/126754116
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