离散Fréchet算法

离散Fréchet算法

总结

实现Fréchet算法的过程中巩固递归算法的基本操作，就是终止条件和Max或Min的计算；而且使用尾递归而不是普通的递归在python和C中实现更好的效率。

Fréchet算法原理¹

度量空间中两条曲线之间的 Fréchet 距离是曲线之间相似性的度量。 算法的离散实现提供了连续测量的良好近似值，并且可以使用简单的算法有效地计算。

给定度量空间中的两条曲线，它们之间的 Fréchet 距离 δF 可以直观地定义如下。

一个人用皮带牵狗：人可以在一条曲线上移动，而狗在另一条曲线上；两者都可以改变它们的速度，但不允许回溯。足以穿过两条曲线的最短皮带长度是多少？ Fréchet 距离是曲线之间相似性的度量，它考虑了沿曲线的点的位置和顺序。因此它通常比众所周知的豪斯多夫距离要好。这个距离函数是由 Fréchet 在 1906 年引入的 。 Alt 和 Godau对 Fréchet 距离的计算特性进行了基础研究。他们给出了一种算法，可以在 O(pq log2 pq) 时间内计算两条多边形曲线之间的精确 Fréchet 距离，其中 p 和 q 是多边形曲线上的段数。该算法相当复杂，因为它使用参数搜索技术。在本文中，描述了多边形曲线的 Fréchet 距离的离散变化。这种变化称为耦合距离δdF。它基于查看多边形曲线的线段端点之间所有可能的耦合的想法。我们证明 δdF 提供了很好的 δF 近似值。具体来说，我们表明 δdF 是 δF 的上限，并且这些度量之间的差异受多边形曲线最长边的长度的限制。我们还表明，可以使用非常简单的算法在 O(pq) 时间内计算 δdF。在这些结果的基础上，以下近似计算两条任意曲线之间的 Fréchet距离的方法不言自明：首先计算曲线的适当多边形近似，然后计算它们的耦合距离，而不是计算它们的精确 Fréchet距离。

Fréchet算法实现

算法的伪代码如下：

算法的python代码实现如下，参考²：

# 部分代码参考：https://github.com/spiros/discrete_frechet

import numpy as np

def frechet_distance_recursion(ca, i, j, p, q):

    if ca[i, j] > -1:
        return ca[i, j]
    elif i == 0 and j == 0:
        ca[i, j] = np.linalg.norm(p[i]-q[j])
    elif i > 0 and j == 0:
        ca[i, j] = max(frechet_distance_recursion(ca, i-1, 0, p, q), np.linalg.norm(p[i]-q[j]))
    elif i == 0 and j > 0:
        ca[i, j] = max(frechet_distance_recursion(ca, 0, j-1, p, q), np.linalg.norm(p[i]-q[j]))
    elif i > 0 and j > 0:
        ca[i, j] = max(
            min(
                frechet_distance_recursion(ca, i-1, j, p, q),
                frechet_distance_recursion(ca, i-1, j-1, p, q),
                frechet_distance_recursion(ca, i, j-1, p, q)
            ),
            np.linalg.norm(p[i]-q[j])
            )
    else:
        ca[i, j] = float('inf')

    return ca[i, j]


def frechet_distance(p, q):
    p = np.array(p, np.float64)
    q = np.array(q, np.float64)

    len_p = len(p)
    len_q = len(q)

    if len_p == 0 or len_q == 0:
        raise ValueError('Input curves are empty.')

    if len_p != len_q or len(p[0]) != len(q[0]):
        raise ValueError('Input curves do not have the same dimensions.')

    ca = (np.ones((len_p, len_q), dtype=np.float64) * -1)

    dist = frechet_distance_recursion(ca, len_p-1, len_q-1, p, q)
    return dist

if __name__=='__main__':
    p=[[1,1], [2,1], [2,2]]
    q=[[2,2], [0,1], [2,4]]
    dist = frechet_distance(p, q)  # 2.0
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参考：

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1. Eiter T, Mannila H. Computing discrete Fréchet distance[J]. 1994. ↩︎

2. GitHub - spiros/discrete_frechet: Compute the Fréchet distance between two polygonal curves in Euclidean space. ↩︎