Leetcode 516. 最长回文子序列

1.题目描述

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

输入：s = “bbbab”
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 “bbbb” 。

输入：s = “cbbd”
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 “bb” 。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 仅由小写英文字母组成

2.思路分析

2.1 动态规划

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][j]： 字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度

2.确定递推公式

• 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

• 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
• 加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
• 加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
• 即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3.dp数组如何初始化

• dp[i][i]初始化为1，其余初始化为0

4.确定遍历顺序

• 从下到上, 从左到右遍历

5.举例推导dp数组

• 输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：

3.代码实现

3.1 动态规划

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][i] = 1
        for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
        return dp[0][-1]
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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2) ，其中 n是字符串的长度。动态规划的状态总数为 O(n^2)。
• 空间复杂度：O(n^2)。