【Leetcode】964. Least Operators to Express Number

题目地址：

https://leetcode.com/problems/least-operators-to-express-number/

给定一个正整数$x>2$，和另一个正整数$t\ge 1$。允许使用加减乘除和数字$x$构造一个表达式，问至少需要多少个运算符可以使得表达式恰好等于$t$。

首先，$x/x,x,x\times x,x\times x\times x,...$分别能得到$x^0,x,x^2,x^3,...$，接着将$t$按$x$进制分解为$t=+a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...$（我们先假设每个乘积项前面都有个正号$+$），这样我们只需要一步一步把$a_i$凑出来即可。可以递归地来做。我们考虑当前正在用$x^k$在修改$s=a_k{x}^k$，那么显然$x^k$要去修改$a_k$使之成为$0$（这是因为如果用$x^{k-1}$去修改$a_k$不会得到更小的代价）。如果$s=0$，那么修改代价就是$0$；如果$s=1$，那么修改代价是，当$k=0$的时候是$c_k=2$，因为是$+x/x$；否则代价是$c_k=k$，即$+x\times x\times ...$；对于别的情况，凑$a_k$的代价可以是通过先凑$a_k{c}_k$，然后继续凑剩余数字，也可以通过先凑$(x-a_k)c_k$，然后凑剩余数字加上$x^{k+1}$，取两者较小的即可。上述凑最小代价可能同个情况被算多次，所以需要记忆化搜索。代码如下：

class Solution {
 public:
  int leastOpsExpressTarget(int x, int target) {
    unordered_map<string, int> mp;
    return dfs(target, 0, x, mp) - 1;
  }

  int dfs(int target, int i, int x, unordered_map<string, int>& mp) {
    string s = to_string(target) + "#" + to_string(i);
    if (mp.count(s)) return mp[s];
    int cost = i ? i : 2;
    if (!target) return mp[s] = 0;
    if (target == 1) return mp[s] = cost;

    int d = target / x, r = target % x;
    if (!r) return mp[s] = dfs(d, i + 1, x, mp);
    return mp[s] = min(dfs(d, i + 1, x, mp) + r * cost,
                       dfs(d + 1, i + 1, x, mp) + (x - r) * cost);
  }
};
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时空复杂度$O(\log t)$。