NTU 课程笔记：向量和矩阵

1 笛卡尔坐标系和齐次坐标系

• 笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates）
  • 

•  齐次坐标系（Homogeneous coordinates）

  •  

 1.1 为什么要有齐次坐标系

        对于有些3D变换（后面会说），无法用笛卡尔坐标系下的矩阵表示，但是都可以用齐次坐标系下的矩阵表示

        

         

2 unity中的向量

public Vector3(float x, float y, float z);

注意：Unity是左手坐标系

 其中，有几个单位向量是可以用Vector3.right,Vector3.up这样的内容表示的

 

2.1 前进方向

使用点积判断小车在靠近目标还是在远离目标 

 2.2 旋转方向

public static Vector3.Cross(Vector3 lhs, Vector3 rhs);

判断小车应该顺时针转韩式逆时针转（根据直积结果的z分量）

 

3 线性变化

3.1平移 Translation

这个是用笛卡尔坐标系无法解决的 

 

 3.2 放缩

 

 3.3 旋转

 右手法则判断旋转角度的正负方向

 

 

3.3.1 沿着x轴旋转

 3.3.2 沿着y轴旋转

 3.3.3 沿着z轴旋转

 3.3.4 综合旋转

任意一个3*3的旋转矩阵R可以看成是前面三个沿着坐标轴旋转的矩阵的乘积

 旋转矩阵R的性质：

4  Transformation Hierachy

4.1 Euclidean Transformation (Rigid Transformation)

旋转R和平移T的组合

\(\begin{bmatrix} R & T\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}_{4 \times 4}\)

线之间的长度、区域、角度不变

自由度为6（R的3+T的3）

4.2 Similarity Transformation

欧几里得变换+各维度相同放缩S

\(\begin{bmatrix} SR & T\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}_{4 \times 4}\)

自由度为7（欧几里得变换的6+放缩的1）

4.3 Affine Transformation

\(\begin{bmatrix} A & T\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}_{4 \times 4}\)

自由度为12（A的9+T的3）

4.4 Projective Transformation

5 Unity中的Transform

 

 

•  Scene中的每个对象都有Transform
• 使用Transform来操控位置、旋转、大小

5.1 坐标轴

 5.2 世界坐标&物体坐标

 

void Translate(Vector3 translation, Space relativeTo = Space.Self);

进行方向和距离的移动

• 如果relativeTo被设置为Space.Self/没有设置，也即默认情况
  • 那么会根据物体的坐标轴进行移动
• 如果relativeTo被设置为Space.World
  • 那么会根据世界坐标进行移动