搞脑筋的日历积木

  今天无意中发现了一个很有奥妙的小玩具，它可以用来查询给定日期的礼拜。扭动年份到对应的月份下，就可以查看那个月具体某个日子是星期几。顿时觉得不可思议。

少见多怪的我又开始瞎琢磨原理：于是召唤出了沉睡已久的蔡勒公式以及一系列它的变形。其他不想说，这个玩具表达的公式，看着最接近以下这一个：weekday=[C//4−2∗C+y+y//4+13∗(M+1)//5+d−1]" role="presentation" style="position: relative;">weekday=[C//4−2∗C+y+y//4+13∗(M+1)//5+d−1]$weekday=[C//4-2\ast C+y+y//4+13\ast (M+1)//5+d-1]$

C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和
14月来算，这时C和y均按上一年取值。

而我更喜欢下面这个容易理解的公式：

weekday=[(Y−1)+(Y−1)//4−(Y−1)//100+(Y−1)//400+26∗(M+1)//10+d]" role="presentation" style="position: relative;">weekday=[(Y−1)+(Y−1)//4−(Y−1)//100+(Y−1)//400+26∗(M+1)//10+d]$weekday=[(Y-1)+(Y-1)//4-(Y-1)//100+(Y-1)//400+26\ast (M+1)//10+d]$

Y是年份，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和14月来算，这时Y按上一年取值。
算出来的数字再次除以7，余数是几就是星期几。比方，余数是0，则为星期日。

这条公式就是个规律，而这个规律竟然是一个古代的聪明蛋提炼总结的。

要推导出它，首先还是需要另一个日期作为定点已知它是星期几，这里隐晦的选择了公元前最后一天12-31是个星期日，作为锚。

再接下来，如果用冗长但是容易理解的算法就是，计算离开那一天有多少个日子。然后再mod 7，余数就可以得到是星期几。

(Y-1)*365+(Y-1)//4-(Y-1)//100+(Y-1)//400+(这一年出头的日子们)

比如写作当日，2022年9月3日，则是

这货能被7除之后余数是6，所以是个星期六。

我把上面的计算叫做逻辑本身的叙述；特点就是，计算过程就是在直白的说事情。接下来才是数学的变态，人家称呼这些个变形简化叫做数学之美。

一定牢记，这个算法的根本就是找出7的余数是多少。那么为了优雅简化（数学的变态部分），这个说事儿的逻辑开始被找规律从而再次简化：

(Y-1)*365 = (Y-1)*(364+1) #因为364=52*7

进一步得：52*7*(Y-1) + (Y-1); 那么这里 其实我只要(Y-1)//7，因为前面是肯定能被7整除的，就直接扔掉了。

剩下因为闰年，因为100年不是闰年，但是400年又是闰年，这一系列要累积天数的式子，中心思想都是数字7取整简化。

再接下来，就到了要计算这一年出头的日子，我们开始看每个月的规律。首先记得这个月如果能被7整除，那么就是完整的礼拜周期。我们知道在30边上晃悠的且7可以整除的数字是28，那么就有，

到了这里，可以看到3-12月，10个月连续稳定，一共26个日子。要分的更细，就会在3月到12月看到两个32323。一月和二月的余数放去尾巴那里，变为13月和14月，其实就是看成序号13和序号14。但是年份上就要算为是上一年序号的。这里会有这个企图的原因是2月的不确定性，如果可以把它当做最后一个月，就不需要去做分情况讨论平年和闰年，式子的未知变量会更少。

请记住，因为这件事情本身就是在找从公元前最后一个日子至今的日子和7的整除关系，所以当把1,2月搬到一年的尾部，从而方便算累积超过28的日子是可以的。虽然看着怪抽象怪恶心，但本质就是会遵循遇7归0这个事儿。年份部分被7挤出来的日子，在上面已经都算好了。

本年那些可以被7整除的部分都不在考虑后，就剩下被挤出的每个月底的多余和当月：

这里可以理解成利用向下取整运算实现这个 13天累积出来对应5个连续月的循环。这个1月也就是13月好巧不巧，也是个3，也就是这串稳定的28有余的两段循环（32323 32323）的下一次循环开始那个位置，而没有破坏它。2月也就是14月又已经到了头。

题外话，这个accumulated部分，我始终觉得有那么点得到答案推算式的意思。因为毕竟只要让M在[3,14]之间是说得过去的，也就可以了。毕竟这算是一个现实世界里面的局限算法而已，并不是个纯数学问题。

末了，之前那些年被7挤出的日子和今年里面被7挤出的日子又放一起，被7再除一下：weekday=[(Y−1)+(Y−1)//4−(Y−1)//100+(Y−1)//400+26∗(M+1)//10+d]" role="presentation" style="position: relative;">weekday=[(Y−1)+(Y−1)//4−(Y−1)//100+(Y−1)//400+26∗(M+1)//10+d]$weekday=[(Y-1)+(Y-1)//4-(Y-1)//100+(Y-1)//400+26\ast (M+1)//10+d]$

感叹一下，带perpetual calendar的机械手表买买可不便宜，但是它的底层逻辑居然可以靠一个几块钱的手工玩具来表达，是多么有意思啊。最上面的玩具图片，从它的盘面也能看出，它在不停的mod 7 mod 4。我是实在没本事花时间再把玩具本身的运作讲彻底了，遗憾。

感受到了此刻，理解力与表达力两种能力上限。

感谢此文引路：如何快速算出一个日期是星期几_ljx0305的博客-CSDN博客