定义：当试验结果为有限
n
n
n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件
A
A
A由
n
A
n_{A}
nA个样本点组成，则事件
A
A
A的概率
P
(
A
)
=
n
A
n
=
A
所包含的样本点数
样本点总数
P(A)=\frac{n_{A}}{n}=\frac{A所包含的样本点数}{样本点总数}
P(A)=nnA=样本点总数A所包含的样本点数
称有限等可能试验中事件
A
A
A的概率
P
(
A
)
P(A)
P(A)为古典型概率
例1：已知 6 6 6个产品中混有 2 2 2个次品，现每次一个的逐个随机抽取检验，求
恰好查三次就确定
2
2
2次品的概率，可以用全排列的方式
C
2
1
⏞
两个次品挑一个
C
2
1
⏞
前两个位置挑一个
A
4
4
A
6
6
=
2
15
\frac{\overbrace{C_{2}^{1}}^{两个次品挑一个}\overbrace{C_{2}^{1}}^{前两个位置挑一个}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{2}{15}
A66C21
两个次品挑一个C21
前两个位置挑一个A44=152
也可以从位置的角度考虑，六个位置任选两个放次品，前两个选一个位置放次品，第三个位置放一个次品
C
2
1
C
6
2
=
2
15
\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{15}
C62C21=152
不超过三次就确定
2
2
2次品的概率，可以用全排列的方式
C
3
2
A
2
2
A
4
4
A
6
6
=
1
5
\frac{C_{3}^{2}A_{2}^{2}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{1}{5}
A66C32A22A44=51
也可以从位置的角度考虑，挑两个位置给次品，次品必须在前三个位置中的两个
C
3
2
C
6
2
=
1
5
\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}
C62C32=51
一定要保持分子分母考虑对象相同，例如本题分母对所有物品排序，分子就是对所有物品符合条件的排序，或者另一种从位置的角度，分母对两个位置考虑，分子就是对符合条件的两个位置考虑
定义：当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维、二维或三维等等），以
L
(
Ω
)
L(\Omega)
L(Ω)表示其几何度量（长度、面积、体积等等）。
L
(
Ω
)
L(\Omega)
L(Ω)为有限，且试验结果出现在
Ω
\Omega
Ω中任何区域可能性只与该区域几何度量成正比。事件
A
A
A的样本点所表示的区域为
Ω
A
\Omega_{A}
ΩA，则事件
A
A
A的概率
P
(
A
)
=
L
(
Ω
A
)
L
(
Ω
)
=
Ω
A
的几何度量
Ω
的几何度量
P(A)=\frac{L(\Omega_{A})}{L(\Omega)}=\frac{\Omega_{A}的几何度量}{\Omega的几何度量}
P(A)=L(Ω)L(ΩA)=Ω的几何度量ΩA的几何度量
称这样样本点个数无限但几何度量上的等可能试验中事件
A
A
A的概率
P
(
A
)
P(A)
P(A)为几何型概率
定义：把一随机试验独立重复做若干次，即各次试验所联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个试验中出现的概率相同，称为独立重复试验
定义：如果每次试验只有两个结果
A
A
A和
A
ˉ
\bar{A}
Aˉ，则称这种试验为伯努利试验，将伯努利试验独立重复进行
n
n
n次，称为
n
n
n重伯努利试验
设在每次试验中，概率
P
(
A
)
=
p
(
0
<
p
<
1
)
P(A)=p(0
C
n
k
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
n
C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n
Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,n
例2：某人打靶的命中率为 1 2 \frac{1}{2} 21，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为（）
本题可以理解为条件概率，即在射击命中的条件下是第一次命中的概率为（）
设
A
A
A为至少命中一次，
B
B
B为第一次命中，显然
B
⊂
A
B \subset A
B⊂A。所求概率为
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
=
P
(
B
)
1
−
P
(
A
ˉ
)
=
1
2
1
−
(
1
2
)
3
=
4
7
P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{1-P(\bar{A})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{4}{7}
P(B∣A)=P(A)P(AB)=1−P(Aˉ)P(B)=1−(21)321=74