831.KMP字符串

前言：学了半天终于领悟，浅浅记录一下

题目：

给定一个字符串 S，以及一个模式串 P，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模式串 P在字符串 S 中多次作为子串出现。

求出模式串 P 在字符串 S 中所有出现的位置的起始下标。

输入格式

第一行输入整数 N，表示字符串 P 的长度。

第二行输入字符串 P。

第三行输入整数 M，表示字符串 S 的长度。

第四行输入字符串 S。

输出格式

共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 00 开始计数），整数之间用空格隔开。

数据范围

1≤N≤1e5
1≤M≤1e6

输入样例：

3
aba
5
ababa

输出样例：

0 2

 朴素算法：

 

例如：长的字符串 S = “ababababfab” ，短的字符串 P = “ababf”，可以看出 P 在 S 中第一次出现位置是在S[4] 到S[8]，所以输出4。

例如：长的字符串 S = “abababfab” ，短的字符串 P = “ababg”，可以看出 P 在 S 中没有出现过，输出 -1。

最容易想到的做法是：暴力求解。

依次比较以长字符串各个字母为开头的子串是否与短字符串匹配。

如果有匹配的输出起始位置，如果没有，输出 -1。

例如：以长的字符串 S = “ababababfab” ，短的字符串 P = “ababf” 为例，过程如下：

首先用S[0]开头的子串：ababa 与 P比较，不匹配。

接着用S[1]开头的子串：babab 与 P比较，不匹配。

接着用S[2]开头的子串：ababa 与 P比较，不匹配。

接着用S[3]开头的子串：babab 与 P比较，不匹配。

接着用S[4]开头的子串：ababf 与 P比较，匹配。输出4。

S[M],P[N];
 
for(int i=1;i<=m;i++)
{
     bool flag = true;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(p[j]!=s[i+j-1]){
            flag=false;
            break;
            }
            
        }
        if(flag==true)
            printf("%d ",i-j);
 }

朴素算法的时间复杂度为O(m*n);

但也由此看出，会执行许多没用的步骤

接下来是优化：

KMP： 

        KMP主要分两步：求next数组、匹配字符串。

        核心思想：在每次失配时，不是把p串往后移一位，而是把p串往后移动至下一次可以和前面部分匹配的位置，这样就可以跳过大多数的失配步骤。而每次p串移动的步数就是通过查找next[ ]数组确定的。

next[j]含义是：P[j] 前面的字符串的最长公共前后缀长度，换句话说next[j] 就是所求最长相等前后缀中前缀的最后一位的下标。

1.匹配字符串      

    s串 和 p串都是从1开始的。i 从1开始，j 从0开始，每次s[ i ] 和p[ j + 1 ]比较

其中1串为[ 1, next[ j ] ]，3串为[ j - next[ j ] + 1 , j ]。由匹配可知 1串等于3串，3串等于2串。所以直接移动p串使1到3的位置即可。这个操作可由j = next[ j ]直接完成。 如此往复下去，当 j == m时匹配成功。

s[ a , b ] = p[ 1, j ] && s[ i ] != p[ j + 1 ] 此时要移动p串（不是移动1格，而是直接移动到下次能匹配的位置）

for(int i = 1, j = 0; i <= n; i++)
{
    while(j && s[i] != p[j+1]) j = ne[j];
    //如果s[i] != p[j+1]匹配失败，且j还能往后退，除非到了第一个字符,继续移动j的位置缩小
    //用while是由于移动后可能仍然失配，所以要继续移动直到匹配或j移到了开头

    if(s[i] == p[j+1]) j++;
    //当前元素匹配，j移向p串下一位，包括了开头字符
    if(j == m)
    {
        //匹配成功，进行相关操作
        j = next[j];  //继续匹配下一个子串
    }
}

其中1串为[ 1, next[ j ] ]，3串为[ j - next[ j ] + 1 , j ]。由匹配可知 1串等于3串，3串等于2串。所以直接移动p串使1到3的位置即可。这个操作可由j = next[ j ]直接完成。 如此往复下去，当 j == m时匹配成功。

2.求next数组

                next数组的求法是通过模板串自己与自己进行匹配操作得出来的（代码和匹配操作几乎一样）。

for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++)
{
    while(j && p[i] != p[j+1]) j = next[j];

    if(p[i] == p[j+1]) j++;

    next[i] = j;
}
代码和匹配操作的代码几乎一样，关键在于每次移动 i 前，将 i 前面已经匹配的长度记录到next数组中。

AC代码

 
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=1e6+10;
char p[N],s[M];
int ne[N];//存放以j结尾的前缀的最后一位
 
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>p+1>>m>>s+1;//从一开始
    //计算ne
    for(int i=2,j=0;i<=n;i++){//1的前缀为0，所以从2开始，j是从j+1开始判断，所以j=0,i与j永远错开一位
       while(j!=0&&p[j+1]!=p[i])j=ne[j];//如果p[j+1]!=p[i]并且j还能退的话，j就一直退
                                        //直到j退到1的位置，或者p[j+1]==p[i];即匹配上了
       if(p[j+1]==p[i])j++;//再次判断能不能匹配的上，不管是1的位置还是p[j+1]和p[i]匹配上了
                            //都要进行判断
        ne[i]=j;//记录ne[i];
    }
 
    for(int i=1,j=0;i<=m;i++){//i和j错开一位
        while(j!=0&&p[j+1]!=s[i])j=ne[j];//同上面
        if(p[j+1]==s[i])j++;
        if(j==n){
            printf("%d ",i-j);
            j=ne[j];//继续从前缀的最后一位开始匹配，效率更高，与暴力算法不同之处
        }
    }
    return 0;
}

我们看到 for 循环中每一个 i 都有一个 while 循环，这样 j 回退的次数可能不可预计，为什么 KMP 的时间复杂度为 O(n+m)？

首先，在 kmp 整个 for 循环中 i 是不断加 1 的，所以在整个过程中 i 的变化次数是 O(m)

 级别，接下来考虑 j 的变化，我们注意到 j 只会在一行中增加，并且每次只加 1，这样在整个过程中 j 最多增加 m 次；而其它情况 j 都是不断减小的，由于 j 最小不会小于 -1，因此在整个过程中，j 最多只能减少 m 次。也就是说 while 循环对整个过程来说最多只会执行 m 次，因此 j 在整个过程中变化次数是 O(m)级别的。由于 i 和 j 在整个过程中的变化次数都是 O(m)，因此 for 循环部分的整体复杂度就是 O(m)。考虑到计算 next 数组需要 O(n） 的时间复杂度(分析方法与上同)，因此 kmp 算法总共需要 O(n+m) 的时间复杂度。

//单纯的记录一下