数据结构与算法之美读书笔记14

二分思想

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

二分查找是一种非常高效的查找算法。

假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

这是一个等比数列。n/2k=1时，k的值就是总共缩小的次数。

每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/2k=1，可以求得k=log2n，所以时间复杂度就是O(logn)。

如果我们在42亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较32次。（高效的体现！）

二分查找的递归与非递归实现

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，在其中用二分查找值等于给定值的数据。

Java二分模板：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
 
  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }
 
  return -1;
}

low、high、mid都是指数组下标，其中low和high表示当前查找的区间范围，初始low=0， high=n-1。mid表示[low, high]的中间位置。

通过对比a[mid]与value的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为0，就退出。

手搓二分的易错点

1.循环退出条件

注意是low<=high，还是low

2.mid的取值

如果low和high比较大的话，两者之和就有可能会溢出。

改进的方法是将mid的计算方式写成low+(high-low)/2。

如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以2操作转化成位运算low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low和high的更新

模板中，low=mid+1，high=mid-1。注意这里的+1和-1，如果直接写成low=mid或者high=mid，就可能会发生死循环。比如，当high=3，low=3时，如果a[3]不等于value，就会导致一直循环不退出。

实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现。

Java递归二分模板

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
 
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;
 
  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

二分查找应用场景的局限性

1.二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。

链表是不可以二分查找的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。

数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

2.二分查找针对的是有序数据。

二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。

针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

3.数据量太小不适合二分查找。

只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

但如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。

比如，数组中存储的都是长度超过300的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

4.数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。

比如，我们有1GB大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要1GB的连续内存空间。

也就是说，即便有2GB的内存空间剩余，但是如果这剩余的2GB内存空间都是零散的，没有连续的1GB大小的内存空间，那照样无法申请一个1GB大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。