顺丰2023秋招笔试 第二题(C++ 二叉树思想)

猜测序列

小明有一个由1到n的整数组成的排列，他让你来猜出这个排列是什么。你每次可以猜测某一位置的数字，小明会告诉你所猜测的数是“大了”、“小了”或是“正确”。你想知道你在最坏情况下，需要猜测几次，才能在排列的所有位置都得到小明“正确”的回复？

输入

5
1

输出

11
1

说明

用二分法，对于一个长度为 k 的序列，最多搜索 $\lfloor {\log }_{2}k\rfloor +1$ 次，。对于本例，第一个位置有 5 个，那就是 3 次搜索，第二个有 4 个，3 次……
一共 3 + 3 + 2 + 2 + 1 = 11 次。

那我们一个一个计算，然后加上，多简单，复杂度 $O(n)$。

然后呢，超时了，寄。

分析

对于每一个 k ：

• $k=1\in [2^0,2^1)$ == > 搜索 $0+1=1$ 次
  共 $2^0\ast (0+1)=1$ 次
   
   

• $k=2\in [2^1,2^2)$ == > 搜索 $1+1=2$ 次
  $k=3\in [2^1,2^2)$ == > 搜索 $1+1=2$ 次
  共 $2^1\ast (1+1)=4$次
   
   

• $k=4\in [2^2,2^3)$ == > 搜索 $2+1=3$ 次
  $k=5\in [2^2,2^3)$ == > 搜索 $2+1=3$ 次
  $k=6\in [2^2,2^3)$ == > 搜索 $2+1=3$ 次
  $k=7\in [2^2,2^3)$ == > 搜索 $2+1=3$ 次
  共 $2^2\ast (2+1)=12$次

• k = 8 ……

其实就是个二叉树，求各个节点层数的总和，对于 $k\in [2^{i-1},2^i)$ ，有 $2^{i-1}$个和它一样的(包括它自身)都需要搜索 $i$ 次，可以避免多次计算。

图示：

步骤：

1. 令 $p=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$，然后从 i = 0 遍历到 p - 1，每次加上
2. 最后加上 $(n-2^p+1)\ast (p+1)$。

复杂度：
$$O({\log }_{2}n)$$

代码

#include
#include
#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    unsigned long long ans = 0;
    unsigned long long p = floor(log2(n));
    for(int i = 0; i < p; i++) {
        ans += (i + 1) * pow(2, i);
    }
        ans += (p + 1) * (n + 1 - pow(2, p));
    cout << ans;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17