算法系列十：十大经典排序算法之——堆排序

1. 堆排序

• 什么是堆排序？
  堆排序（英语:Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
• 堆的操作
  在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点（在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点）。堆中定义以下几种操作：
  ①最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点；
  ②创建最大堆（Build Max Heap）：将堆中的所有数据重新排序；
  ③堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算。

1.1 算法描述

1. 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆（根节点值大于左右子节点值），此堆为初始的无序区；
2. 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
3. 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

1.2 排序思想

① 首先将待排序数组组成一个大根堆，那么此时最大数就是大根堆的顶端；
② 将顶端的数与末尾的数进行交换，此时末尾的数为最大值，剩余待排序数据个数为 n - 1；
③ 将剩余 n - 1个数再次构造成大根堆，再将顶端数与末尾数（n - 1）进行交换。如此重复执行，并能最终得到有序数组。

注意:升序用大根堆，降序就用小根堆(默认为升序)

1.3 详细步骤

对于一个完全二叉树，在填满的情况下（非叶子节点都有两个子节点），每一层的元素个数是上一层的二倍，根节点数量是1，所以最后一层的节点数量，一定是之前所有层节点总数+1，所以，我们能找到最后一层的第一个节点的索引，即节点总数/2（根节点索引为0），这也就是第一个叶子节点，所以第一个非叶子节点的索引就是第一个叶子结点的索引-1。那么对于填不满的二叉树呢？这个计算方式仍然适用，当我们从上往下，从左往右填充二叉树的过程中，第一个叶子节点，一定是序列长度/2，所以第最后一个非叶子节点的索引就是 arr.len / 2 -1，对于此图数组长度为5，最后一个非叶子节点为5/2-1=1，即为6这个节点

步骤一：构造初始堆。将给定的待排序序列构造成一个大顶堆（升序大顶堆，降序小顶堆）。
a. 设给定无序序列结构如下：

b. 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

c. 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

d. 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，该无序序列已经被构造成了一个大顶堆。

步骤二. 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换，直到整个序列有序。

a. 将堆顶元素9与末尾元素4进行交换。

b. 此时重新调整结构，使其符合大顶堆定义。

c. 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换（9已经是有序区，排除在外）。

d. 后续过程，继续进行如上调整、交换，直到最终整个序列有序。

1.4 动图演示

1.5 代码实例

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {
    public static void main(String []args){
        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    public static void sort(int []arr){
        //1.构建大顶堆
        for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
            //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
            adjustHeap(arr,i,arr.length);
        }
        //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
        for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
            swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
            adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整
        }

    }

    /**
     * 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）
     * @param arr
     * @param i
     * @param length
     */
    public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
        int temp = arr[i];//先取出当前元素i
        for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始
            if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点
                k++;
            }
            if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            }else{
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
    }

    /**
     * 交换元素
     * @param arr
     * @param a
     * @param b
     */
    public static void swap(int []arr,int a ,int b){
        int temp=arr[a];
        arr[a] = arr[b];
        arr[b] = temp;
    }
}
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参考文章

1. 图解排序算法三之堆排序
2. 堆排序详细图解（通俗易懂）