【高等数学基础进阶】定积分与反常积分-反常积分

积分有两个要求，一个是积分上下限有限，被积函数有界，打破其中任意一个，即为反常积分

无穷区间上的反常积分

∫ + ∞ a f ( x ) d x = lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim ⁡ t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x 若 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x 和 ∫ − ∞ 0 f ( x ) 都收敛 , 则称 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x 收敛

∫+∞a​f(x)dx=t→+∞lim​∫at​f(x)dx∫−∞b​f(x)dx=t→−∞lim​∫tb​f(x)dx若∫0+∞​f(x)dx和∫−∞0​f(x)都收敛,则称∫−∞+∞​f(x)dx收敛​

常用结论：
∫ a + ∞ 1 x P d x = { P > 1 收敛 P ≤ 1 发散 ( a > 0 ) \int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx=\left\{

\right.\quad(a>0) ∫a+∞​xP1​dx={​P>1P≤1​收敛发散​(a>0)

无界函数的反常积分

设$a$为$f(x)$的无界点，
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_c^{b}f(x)dx$$

常用结论：
∫ a b 1 ( x − a ) P d x = { P < 1 收敛 P ≥ 1 发散 = ∫ a b 1 ( b − x ) P d x \int^{b}_{a} \frac{1}{(x-a)^{P}}dx=\left\{

\right.=\int^{b}_{a} \frac{1}{(b-x)^{P}}dx ∫ab​(x−a)P1​dx={​P<1P≥1​收敛发散​=∫ab​(b−x)P1​dx

常考题型与典型例题

反常积分的敛散性

例1：说明反常积分${\int }_2^{+\infty }xd{e}^{-x}$收敛

∫ 2 + ∞ x d e − x = − ∫ 2 + ∞ x d e − x = − x e − x ∣ 2 + ∞ + ∫ 2 + ∞ e − x d x = − ( x + 1 ) e − x ∣ 2 + ∞

∫2+∞​xde−x​=−∫2+∞​xde−x=−xe−x∣ ∣​2+∞​+∫2+∞​e−xdx=−(x+1)e−x∣ ∣​2+∞​​

$e^x$在分母上变成$e^{-x}$

例2：设函数 f ( x ) = { 1 ( x − 1 ) α − 1 1 < x < e 1 x ln ⁡ α + 1 x x ≥ e f(x)=\left\{

\right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧​​(x−1)α−11​xlnα+1x1​​1<x<ex≥e​，若反常积分${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$收敛，求$\alpha$的范围

定义中若${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$和${\int }_{-\infty }^{0}f(x)$都收敛，则称${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$收敛，是指积分上下限区间范围内任意分都收敛，则整体收敛

∫ 1 + ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 e 1 ( x − 1 ) α − 1 d x + ∫ e + ∞ d x x ln ⁡ α + 1 x = ∫ 1 e 1 ( x − 1 ) α − 1 d x ⏟ α − 1 < α ⇒ α < 2 + ∫ e + ∞ d ln ⁡ x ln ⁡ α + 1 x ⏟ α + 1 > 1 ⇒ α > 0

∫1+∞​f(x)dx​=∫1e​(x−1)α−11​dx+∫e+∞​xlnα+1xdx​=α−1<α⇒α<2 ∫1e​(x−1)α−11​dx​​+α+1>1⇒α>0 ∫e+∞​lnα+1xdlnx​​​​

两个常用公式中的变量可以整体代换，如本题$\ln x$代换$x$，可使用${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^P}dx$的结论

因此$0<\alpha <2$

例3：反常积分${\int }_{-\infty }^0\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}dx$的敛散性为

原式 = − ∫ − ∞ 0 e 1 x d 1 x = − e 1 x ∣ − ∞ 0 = − lim ⁡ x → 0 − e 1 x + 1 = 1

原式​=−∫−∞0​ex1​dx1​=−ex1​∣ ∣​−∞0​=−x→0−lim​ex1​+1=1​

此处有$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}$，原本是$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}$，但由于一面已经确定了是$-\infty$（$0$以左都一样），则在该区间内，趋向于$0$，显然无法出现$x\to 0^{+}$，因此默认为$0^{-}$

例4：反常积分${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}dx$收敛

${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^P}dx$积分两侧都是反常积分，下限为无界函数的反常积分，上限为无穷区间的反常积分

原式 = ∫ 0 1 d x x a ( 1 + x ) b + ∫ 1 + ∞ d x x a ( 1 + x ) b 这里观察到两侧都是反常积分 因此随便找个数把两类反常积分区间分开

原式​=∫01​xa(1+x)bdx​+∫1+∞​xa(1+x)bdx​这里观察到两侧都是反常积分因此随便找个数把两类反常积分区间分开​
由于$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1+x{)}^b=1$，易知${\int }_0^1\frac{dx}{x^a(1+x{)}^b}$在$0$处与${\int }_0^1\frac{dx}{x^a}$同敛散，因此$a<1$。对于另一部分有
∫ 1 + ∞ d x x a ( 1 + x ) b = ∫ 1 + ∞ d x x a + b ( 1 + 1 x ) b

∫1+∞dxxa(1+x)b=∫1+∞dxxa+b(1+1x)b" role="presentation" style="position: relative;">∫+∞1dxxa(1+x)b=∫+∞1dxxa+b(1+1x)b$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^a(1+x{)}^b}& ={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^{a+b}(1+\frac{1}{x}{)}^b}\end{array}$$

∫1+∞​xa(1+x)bdx​​=∫1+∞​xa+b(1+x1​)bdx​​
用上面的推理方式,可知${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^{a+b}(1+\frac{1}{x}{)}^b}$与${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^{a+b}}$当$x\to +\infty$同敛散，因此$a+b>1$

反常积分的计算

例5：${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{(x+7)\sqrt{x-2}}=()$

可以令$\sqrt{x-2}=t$，可以算出来，这里用另一种方法
原式 = ∫ 2 + ∞ 2 d x − 2 9 + ( x − 2 ) 2 = 2 3 arctan ⁡ x − 2 ∣ 2 + ∞ = π 3

原式​=∫2+∞​9+(x−2 ​)22dx−2 ​​=32​arctanx−2 ​∣ ∣​2+∞​=3π​​

例6：计算$I={\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{e^x+e^{2-x}}$

如果积分中出现$e^x$且要凑进$dx$，则可以考虑尽量把所有$e^{-x}$化成$e^x$方便观察

I = ∫ 1 + ∞ e x d x e 2 x + e 2 = ∫ 1 + ∞ d e x e 2 + e 2 x = 1 e arctan ⁡ e x e ∣ 1 + ∞ = π 4 e

I​=∫1+∞​e2x+e2exdx​=∫1+∞​e2+e2xdex​=e1​arctaneex​∣ ∣​1+∞​=4eπ​​