虚数是什么

例题：

上海市竞赛题，解方程x³-1=0，求x所有的解。

答：

1、立方差公式拆开可得：

(x-1)(+x+1)=0

题解1：(x-1)=0有x=1

2、由于让求所有解，故而要求(+x+1)=0也有解，需要使用求根公式可得：

 题解2：虚数解x=−1±√3i2

以上示例中可以看到，我们平时解题的时候只注意到了实数解，很多时候还会有虚数解，所以在做题的时候要注意题目的要求，这里是要x所有的解，就包含虚数；如果说求x所有的实数解，答个1就行了。

目录

虚数是什么

定义

符号

实际意义

i的性质

表达式

---

虚数是什么

在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。

可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。

定义

在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i²=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

符号

1777年瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。
而在工程运算中，为了不与其他符号（如电流的符号）相混淆，有时也用j或k等字母来表示虚数的单位。
通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。

实际意义

我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P （a，bi），将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。
不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：
若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？
根据这一要求，可以给出如下方程：
-x = (1/x)
不难得知，这个方程的解x=±i （虚数单位）
由此，若有t'=ti，我们将i理解为从t的单位到t'的单位之间的转换单位，则t'=ti将被理解为
-t' = 1/t
即
t' = - 1/t
这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。
虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具，虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。
虚数是用来表示事物中无法构成抽象概念的因素的抽象概念。
一切事物的值都可表示为：a+bi，而不是单有实数。

i的性质

i 的高次方会不断作以下的循环：

i^1 = i，

i^2= - 1，

i^3 = - i，

i^4 = 1，

i^5 = i，

i^6 = - 1.

...

i^n具有周期性，且最小正周期是4.

∴ i^(4n)=1，

i^(4n+1)=i，

i^(4n+2)=-1，

i^(4n+3)=-i.

由于虚数特殊的运算规则，出现了符号i

当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时：

ω2 + ω + 1 = 0

ω3 = 1

表达式

a=a+i
含义为与一切事物皆无联系的概念，无论a任何变化，i都不会变。