线性代数 --- 用几何图形进一步说明高斯消元法

用几何图形来更加形象的展示高斯消元法的过程

高斯消元法不改变方程组的解：

现有如下2x2方程组:

Tips:

下面用矩阵的行视图来展示方程组消元前后的差异。

        首先，可以看到，不论是消元前还是消元后，两条直线的交点不变，即，方程组的解不变。这说明高斯消元不会改变原始方程组的解。但是，经过消元后，原始方程3x+2y=11变成一条水平线了。

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高斯消元后，方程组无解的三种情况：

（行视图）

        一般情况下，在消元的过程中如果遇到主元为0的情况，即可判定改方程组无解(对于一个nxn的矩阵而言，主元即为主对角线上的元素，a11,a22,a33...ann)。但，也有例外，下面我们对确实无解和例外逐一说明。

case 1:无解

        消元后得到的0y=8，说明该方程无解，因为无论y等于多少都无法令等式两端成立。下面的几何图像也更加直观的说明了这一问题。下图左边的行视图和右边的列视图都说明了，无论你怎么化简，怎么消元，最终都无法避免，无解，这一事实。

        一方面，就行视图而言，我们可以发现，两个方程的直线相互平行，永远不会有交点，也就是无解。 

        另一方面，就列视图而言，我们可以发现，向量[1，3]和向量[-2，-6]永远无法通过线性组合得到向量b=[1，11]。

        进一步说，参照下图的图示（注意下图所示方程和本例的方程不同），你找不到一个合适的权重(x,y)使得两个向量的线性组合等于b。 

case 2:无穷多个解

由于上述方程无解，现在把原方程的右边改成1，3：

 对于化简得到的新方程0y=0，他不是无解，而是任何一个y都能满足，又叫自由变量y。

下图为行视图和列视图的说明：

        对于行视图，我们看到两个方程的直线重叠在一起了，按照行视图对于方程组的解的定义，两条直线的交点即为方程组的解。现在这种情况，这条直线上的每一个点都是方程组的解，也就是说有无穷多个解。 

        对于列视图，向量b=[1 3]'正好等于第一列的向量col1[1 3]'。我们可以选择x=1,y=0得到b,我们也可以令x=0,y = -1/2得到b。行视图中直线上的每一个点，也就是方程组的解，都能作为列视图中的两个向量线性组合的权重，得到b。

case 3: “false alarm”，通过行交换可解

        现在我们要说的就是文章前面提到的例外。这种情况，主元为0，一眼看上去是无解的。但是，通过行交换，可以把主元为0的方程调换一个位置。就能继续求解方程了，最终得上三角矩阵。

（全文完）

作者---松下J27

鸣谢（参考文献）：

1，Introduction to Linear Algebra - Gilbert Strang.

2，
Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWarehttps://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/

格言摘抄：

心怀二意的人，在他一切所行的路上都没有定见。----雅各书1章8节

（A double minded man is unstable in all his ways. ---James 1:8）

  （配图与本文无关）

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