【线性代数基础进阶】特征值和特征向量-补充+练习

特征值、特征向量

定义：设$A=(a_{ij})$为一个$n$阶矩阵，则行列式
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a n n ∣ |\lambda E-A|=

∣λE−A∣=∣ ∣​λ−a11​−a21​⋮−an1​​−a12​λ−a22​⋮−an2​​⋯⋯⋯​−a1n​−a2n​⋮λ−ann​​∣ ∣​
称为矩阵$A$的特征多项式，$|\lambda E-A|=0$称为$A$的特征方程

当特征值是二重根时，有可能只有一个线性无关的特征向量，也有可能有两个线性无关的特征向量，这一点在后面的相似对角化问题上是重要的

再解释一下之前的例题
例：$A$为$3$阶矩阵，特征值是$-1,0,4$，如果$A+B=2E$，则$B$的特征值为（）

由于$A$的特征值是$-1,0,4$，则有
$$|{\lambda }_{1}E-A|=0的解为{\lambda }_1=-1,0,4$$
因此对于$B$，有特征方程
∣ λ 2 E − B ∣ = 0 ∣ λ 2 E − 2 E + A ∣ = 0 ∣ A − ( 2 − λ 2 ) E ∣ = 0

∣λ2​E−B∣∣λ2​E−2E+A∣∣A−(2−λ2​)E∣​=0=0=0​

注意$|\lambda E-A|=0$和$|A-\lambda E|=0$的解是相同的，只是由定义$A\alpha =\lambda \alpha$移项方向不同导致的

都看做$A$的特征方程，则有
$${\lambda }_1=2-{\lambda }_2$$
因此${\lambda }_2=3,2,-2$，即$B$的特征值为$3,2,-2$

如果一个矩阵可逆，则特征值全都不为$0$，若有一个为$0$则矩阵不可逆
依据：$|A|=\prod {\lambda }_i$

例：已知三阶矩阵$A$的特征值是$1,-1,2$，证明$A+E$不可逆，$A+2E$可逆

$A$的特征值是$1,-1,-2$，可知$A+E$的特征值为$2,0,3$，则有
$$|A+E|=2\times 0\times -1=0$$
$A+E$不可逆。同理$A+2E$的特征值为$3,1,4$，则有
$$|A+2E|=3\times 1\times 4=12\ne 0$$
$A+2E$可逆

此结论未经过验证，请不要随意使用
已知$A$的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，有关系$B=A+\alpha E$，则$B$的特征值为${\lambda }_1+\alpha ,{\lambda }_2+\alpha ,\cdots ,{\lambda }_n+\alpha$

证明：
对$A$，有
$$|{\lambda }_{k}E-A|=0的解为{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$$
对$B$，有
∣ λ q E − B ∣ = ∣ λ q E − A − α E ∣ = ∣ ( λ q − α ) E − A ∣ = 0

|λqE−B|=|λqE−A−αE|=|(λq−α)E−A|=0" role="presentation" style="position: relative;">|λqE−B|=|λqE−A−αE|=|(λq−α)E−A|=0$$\begin{array}{rl}|{\lambda }_{q}E-B|& =|{\lambda }_{q}E-A-\alpha E|\\ & =|({\lambda }_q-\alpha )E-A|=0\end{array}$$

∣λq​E−B∣​=∣λq​E−A−αE∣=∣(λq​−α)E−A∣=0​
都看做$A$的特征方程，则有${\lambda }_k=({\lambda }_q-\alpha )$，因此$B$的特征值为${\lambda }_1-\alpha ,{\lambda }_2-\alpha ,\cdots ,{\lambda }_n-\alpha$

其实对于$B=\beta A+\alpha E,\beta \ne 0$也能做，只需要在最后提出$\beta A$前面的系数，但注意$\beta$本身是矩阵$A$的系数，放到矩阵里面是每一行都要乘$\beta$，整个特征向量提出的不是$\beta$，而是${\beta }^n$，其中$n$为$A$的阶数

相似矩阵

证明：若$A\sim B$，有

• $A^n\sim B^n$
  因为$A\sim B$，有$P^{-1}AP=B$，于是
  $$B^2=(P^{-1}AP{)}^2=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=P^{-1}{A}^{2}P$$
• $A+kE\sim B+kE$
  因为$A\sim B$，有$P^{-1}AP=B$，于是
  $$P^{-1}(A+kE)P=P^{-1}AP+P^{-1}(kE)P=B+kE$$
• 且条件$A$可逆，$A^{-1}\sim B^{-1}$
  因为$A\sim B$，有$|A|=|B|$。由$A$可逆知$B\ne 0$，即$B$必可逆
  $$B^{-1}=(P^{-1}AP{)}^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}(P^{-1}{)}^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}P$$

对定理的补充

定理：$A\sim \Lambda \iff \lambda$是$A$的$k$重特征值，则$\lambda$有$k$个线性无关的特征向量
$\iff$秩$r({\lambda }_{i}E-A)=n-n_i$，${\lambda }_i$为$n_i$重特征值

注意是$P$中$\alpha$与$\Lambda$中的$\lambda$相会对应，而不是$P^{-1}$

施密特正交化

一般地，用数学归纳法可以证明
设${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m(m\le n)$是$R^n$中的一个线性无关的向量组，若令 β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ⟨ α 2 , β 1 ⟩ ⟨ β 1 , β 1 ⟩ β 1 β m = α m − ⟨ α m , β 1 ⟩ ⟨ β 1 , β 1 ⟩ β 1 − ⟨ α m , β 2 ⟩ ⟨ β 2 , β 2 ⟩ β 2 − ⋯ − ⟨ α m , β m − 1 ⟩ ⟨ β m − 1 , β m − 1 ⟩ β m − 1

β1​=α1​β2​=α2​−⟨β1​,β1​⟩⟨α2​,β1​⟩​β1​βm​=αm​−⟨β1​,β1​⟩⟨αm​,β1​⟩​β1​−⟨β2​,β2​⟩⟨αm​,β2​⟩​β2​−⋯−⟨βm−1​,βm−1​⟩⟨αm​,βm−1​⟩​βm−1​​​
则${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$就是一个正交向量组，若再令$$e_i=\frac{{\beta }_i}{||{\beta }_i||}(i=1,2,\cdots ,m)$$
就得到一个标准的正交向量组$e_1,\cdots ,e_m$，且该向量组与${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$等价

例：已知$A$是三阶实对称矩阵，特征值是$3,0,0$，对应于$\lambda =3$的特征向量是${\alpha }_1=(1,1,1{)}^T$

• 求矩阵$A$关于$\lambda =0$的特征向量
• 求矩阵$A$
• 求正交矩阵$Q$使$Q^{-1}AQ=\Lambda$

实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设$\lambda =0$的特征向量$\alpha =(x_1,x_2,x_3{)}^T$，则有
$$x_1+x_2+x_3=0$$
解得${\alpha }_2=(-1,1,0{)}^T,{\alpha }_3=(-1,0,1{)}^T$，所以矩阵$A$关于$\lambda =0$的特征向量为$k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3,k_2,k_3不全为0$

由$A\alpha =\lambda \alpha ,A{\alpha }_1=3{\alpha }_1,A{\alpha }_2=0,A{\alpha }_3=0$，有
A ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( 3 0 0 ) A ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 3 α 1 , 0 , 0 ) A = ( 3 α 1 , 0 , 0 ) ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 3 0 0 3 0 0 3 0 0 ) ( 1 − 1 − 1 1 1 0 1 0 1 ) − 1 = ( 3 0 0 3 0 0 3 0 0 ) ⋅ 1 3 ( 1 1 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 2 ) = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

A(α1​,α2​,α3​)A(α1​,α2​,α3​)A​=(α1​,α2​,α3​)⎝ ⎛​3​0​0​⎠ ⎞​=(3α1​,0,0)=(3α1​,0,0)(α1​,α2​,α3​)=⎝ ⎛​333​000​000​⎠ ⎞​⎝ ⎛​111​−110​−101​⎠ ⎞​−1=⎝ ⎛​333​000​000​⎠ ⎞​⋅31​⎝ ⎛​1−1−1​12−1​1−12​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​111​111​111​⎠ ⎞​​

对$\lambda =0$，${\alpha }_2,{\alpha }_3$不正交，则
β 2 = α 2 = ( − 1 , 1 , 0 ) T β 3 = α 3 − < α 3 , β 2 > < β 2 , β 2 > β 2 = ( − 1 0 1 ) − 1 2 ( − 1 1 0 ) = 1 2 ( − 1 − 1 2 )

β2​β3​​=α2​=(−1,1,0)T=α3​−⟨β2​,β2​⟩⟨α3​,β2​⟩​β2​=⎝ ⎛​−101​⎠ ⎞​−21​⎝ ⎛​−110​⎠ ⎞​=21​⎝ ⎛​−1−12​⎠ ⎞​​

这里只是为了求出一个向量，所以矩阵的系数在后面都可以省略

单位化
γ 1 = 1 3 ( 1 1 1 ) , γ 2 = 1 2 ( − 1 1 0 ) , γ 3 = 1 6 ( − 1 − 1 2 ) \gamma_{1}= \frac{1}{\sqrt{3}}

,\gamma_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},\gamma_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}} γ1​=3 ​1​⎝ ⎛​111​⎠ ⎞​,γ2​=2 ​1​⎝ ⎛​−110​⎠ ⎞​,γ3​=6 ​1​⎝ ⎛​−1−12​⎠ ⎞​
令
Q = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) = ( 1 3 − 1 2 − 1 6 1 3 1 2 − 1 6 1 3 0 2 6 ) Q=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3})=

(13−12−161312−1613026)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜⎜⎜13√13√13√−12√12√0−16√−16√26√⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$$

Q=(γ1​,γ2​,γ3​)=⎝ ⎛​3 ​1​3 ​1​3 ​1​​−2 ​1​2 ​1​0​−6 ​1​−6 ​1​6 ​2​​⎠ ⎞​
有
Q − 1 A Q = ( 3 0 0 ) Q^{-1}AQ=

(300)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜300⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{ccc}3& & \\ & 0& \\ & & 0\end{array}\right)$$

Q−1AQ=⎝ ⎛​3​0​0​⎠ ⎞​

例：已知$A$是三阶实对称矩阵，秩为$2$，$\lambda =6$是$A$的二重特征值，对应的特征向量是${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T$和${\alpha }_2=(2,1,1{)}^T$，求$A$的另一特征值的对应的特征向量

该题可以被分作两道题

已知$A$是三阶实对称矩阵，秩为$2$，$\lambda =6$是$A$的二重特征值，求$A$的另一特征值

已知$A$是三阶实对称矩阵，$\lambda =6$是$A$的二重特征值，对应的特征向量是${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T$和${\alpha }_2=(2,1,1{)}^T$，求$A$的另一特征向量

第一题
由于$A$是三阶实对称矩阵，秩为$2$，有
$$|A|=0=\prod _1^3{\lambda }_i$$

矩阵不满秩即行列式为$0$，行列式为$0$，矩阵一定有特征值$0$

因此另一特征值为$0$

第二题
令该特征向量为$(x_1,x_2,x_3{)}^T$，有
{ x 1 + x 2 = 0 2 x 1 + x 2 + x 3 = 0 \left\{

\right. {​x1​+x2​=02x1​+x2​+x3​=0​
对应矩阵
( 1 1 0 2 1 1 ) → ( 1 1 0 0 1 − 1 )

(110211)" role="presentation" style="position: relative;">(121101)$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$$

\rightarrow

(11001−1)" role="presentation" style="position: relative;">(10110−1)$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$$

(12​11​01​)→(10​11​0−1​)
因此，特征向量为$(-1,1,1{)}^T$

同一个$\lambda$对应的系数矩阵，若该矩阵有$n$个自由变量，则该特征值对应有$n$个特征向量