深度优先搜索（二）

例题:Roads

N个城市，编号1到N。城市间有R条单向道路。 每条道路连接两个城市，有长度和过路费两个属性。 Bob只有K块钱，他想从城市1走到城市N。问最短共需要走多长的路。如果到不了N ，输出-1

解题思路：

从城市 1开始深度优先遍历整个图，找到所有能到达 N 的走法， 选一个最优的。

最优性剪枝：

1) 如果当前已经找到的最优路径长度为L ,那么在继续搜索的过程中，总长度已经大 于等于L的走法，就可以直接放弃，不用走到底了

保存中间计算结果用于最优性剪枝：

2) 用midL[k][m] 表示：走到城市k时总过路费为m的条件下，最优路径的长度。若在 后续的搜索中，再次走到k时，如果总路费恰好为m，且此时的路径长度已经不小于 midL[k][m],则不必再走下去了。

另一种通用的最优性剪枝思想 ---保存中间计算结果用于最优性剪枝：

2） 如果到达某个状态A时，发现前面曾经也到达过A，且前面那次到达A所花代价更 少，则剪枝。这要求保存到达状态A的到目前为止的最少代价。 用midL[k][m] 表示：走到城市k时总过路费为m的条件下，最优路径的长度。若在后 续的搜索中，再次走到k时，如果总路费恰好为m，且此时的路径长度已经不小于 midL[k][m],则不必再走下去了。

int K, N, R;
struct Road {
	int d, L, t;
};
vector > cityMap(110); //邻接表。cityMap[i]是从点i有路连到的城市集合
int minLen = 1 << 30; //当前找到的最优路径的长度
int totalLen; //正在走的路径的长度
int totalCost; //正在走的路径的花销
int visited[110]; //城市是否已经走过的标记
int minL[110][10100]; //minL[i][j]表示从1到i点的，花销为j的最短路的长度
void Dfs(int s) //从 s开始向N行走
{
	if (s == N) {
		minLen = min(minLen, totalLen);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < cityMap[s].size(); ++i) {
		int d = cityMap[s][i].d; //s 有路连到d
		if (!visited[d]) {
			int cost = totalCost + cityMap[s][i].t;
			if (cost > K)
				continue;
			if (totalLen + cityMap[s][i].L >= minLen ||
				totalLen + cityMap[s][i].L >= minL[d][cost])
				continue;
			totalLen += cityMap[s][i].L;
			totalCost += cityMap[s][i].t;
			minL[d][cost] = totalLen;
			visited[d] = 1;
			Dfs(d);
			visited[d] = 0;
			totalCost -= cityMap[s][i].t;
			totalLen -= cityMap[s][i].L;
		}
	}
}
int main()
{
	cin >> K >> N >> R;
	for (int i = 0; i < R; ++i) {
		int s;
		Road r;
		cin >> s >> r.d >> r.L >> r.t;
		if (s != r.d)
			cityMap[s].push_back(r);
	}
	for (int i = 0; i < 110; ++i)
		for (int j = 0; j < 10100; ++j)
			minL[i][j] = 1 << 30;
	memset(visited, 0, sizeof(visited));
	totalLen = 0;
	totalCost = 0;
	visited[1] = 1;
	minLen = 1 << 30;
	Dfs(1);
	if (minLen < (1 << 30))
		cout << minLen << endl;
	else
		cout << "-1" << endl;
}

例题:生日蛋糕

要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 设从下往上数第i(1 Ri+1且Hi > Hi+1。 由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的 下底面除外）的面积Q最小。 令Q = Sπ 请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小 。 （除Q外，以上所有数据皆为正整数）

解题思路

深度优先搜索，枚举什么? 枚举每一层可能的高度和半径。

如何确定搜索范围? 底层蛋糕的最大可能半径和最大可能高度

搜索顺序，哪些地方体现搜索顺序? 从底层往上搭蛋糕，而不是从顶层往下搭

如何剪枝？

剪枝1：搭建过程中发现已建好的面积已经不小于目前求得的最优表面积，或者预见到搭完后面积一定会不小于目前最优表面积,则停止搭建（最优性剪枝）
剪枝2：搭建过程中预见到再往上搭，高度已经无法安排，或者半径已经无法安排，则停止搭建(可行性剪枝）
剪枝3：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，一定会超过还缺的体积，则停止搭建(可行性剪枝）
剪枝4：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的体积，则停止搭建(可行性剪枝）

 
int N,M;
int minArea=1<<30;	 
int area;		
int mins[21],minv[21];
 
void dfs(int v,int n,int r,int h){
	if(n==0){
		if(v) return;
		else{
			minArea=min(minArea,area);
			return;
		}
	}
	
	if(v<=0)
		return;
	if(r
		return;
	if(minv[n]>v)
		return;
	if(area>=minArea||area+mins[n]>=minArea)	
		return;
	int maxv=0,R=r,H=h;
	for(int i=n;i>=1;--i){
		maxv+=R*R*H;
		--R;
		--H;
	}
	if(v>maxv)
		return;
	for(int rr=r;rr>=n;--rr){
		if(n==M)
			area=rr*rr;
		for(int hh=h;hh>=n;--hh){
			area+=2*rr*hh;
			dfs(v-rr*rr*hh,n-1,rr-1,hh-1);
			area-=2*rr*hh;
		} 
	}
}
 
int main(){
	cin>>N>>M;
	int min_s,min_v;
	for(int i=0;i<=M;++i){
		min_s+=2*i*i;
		min_v+=i*i*i;
		mins[i]=min_s;
		minv[i]=min_v;
	}
	
	int maxR=sqrt(N-minv[M-1]);
	int maxH=N-minv[M-1]/M;
	dfs(N,M,maxR,maxH);
	if(minArea==1<<30)
		cout<<0<
	else
		cout<
	
	return 0;
}