引言
本科毕业以后越觉数学的奇妙，想弥补一下数学知识的证明，做点记录，方便后续查阅。
定理1.2.2-平均值不等式
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
n
≥
a
1
a
2
⋯
a
n
n
≥
n
/
(
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯
+
1
a
n
)
{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\geq n{\Big/}\left({\frac{1}{a_{1}}}+{\frac{1}{a_{2}}}+\cdots+{\frac{1}{a_{n}}}\right)
na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an≥n/(a11+a21+⋯+an1)
等号当且仅当
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}
a1,a2,⋯,an全部相等时成立。这就是说，算术平均值不小于几何平均值，几何平均值不小于调和平均值。
本证明摘自参考资料[1]p22 【第一章 集合与映射
§
2
\S2
§2映射与函数】
【证明】 【证明】 【证明】
先证明左边的不等式
a 1 + a 2 + ⋯ + a n n ≥ a 1 a 2 ⋯ a n n . {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}}\geq\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,. na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an. 当 n = 1 , 2 n=1,2 n=1,2时，不等式显然成立。
当 n = 2 k ( k ∈ N + ) n=2^k(k∈N^+) n=2k(k∈N+)时，不等式是 a + b 2 ≥ a b {\frac{a+b}{2}}\ge{\sqrt{a b}} 2a+b≥ab的直接推论。 当 n ≠ 2 k ( k ∈ N + ) n \neq2^k(k∈N^+) n=2k(k∈N+)时，取 l ∈ N + l∈N^+ l∈N+，使得 2 l − 1 < n < 2 l 2^{l-1}\lt n\lt 2^{l} 2l−1<n<2l。记
a 1 a 2 ⋯ a n = a ˉ \sqrt{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,=\,{\bar{a}} a1a2⋯an=aˉ
在 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} a1,a2,⋯,an后面加上
( 2 l − n ) (2^{l}-n) (2l−n)个 a ˉ {\bar{a}} aˉ,将其扩充成 2 l 2^{l} 2l个正数。对这 2 l 2^{l} 2l正数应用不等式，得到
1 2 l [ a 1 + a 2 + ⋯ + a n + ( 2 l − n ) a ‾ ] z ^ ≥ ( a 1 a 2 ⋯ a n a ‾ 2 l − n ) 1 2 l = a ˉ {\frac{1}{2^l}}{\Big[}a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+(2^{l}-n){\overline{{a}}}{\Big]}{\hat{z}}\geq(a_{1}a_{2}{\cdots}a_{n}{\overline{{a}}}^{2^l-n})^{{\frac{1}{2^l}}}={\bar{a}} 2l1[a1+a2+⋯+an+(2l−n)a]z^≥(a1a2⋯ana2l−n)2l1=aˉ整理后即有：
a 1 + a 2 + ⋯ + a n n ≥ a 1 a 2 ⋯ a n n \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}} na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an对 1 a 1 , 1 a 2 , ⋯ , 1 a n {\frac{1}{a_{1}}},{\frac{1}{a_{2}}},\cdots,{\frac{1}{a_{n}}} a11,a21,⋯,an1使用上面的结论，便得到右边的不等式。
证毕
参考资料
[1]数学分析[M]. 高等教育出版社 , 陈纪修等[编著], 2004