[math]判断一个点是否在多边形内的方法

多边形的内角是由两条相邻边形成边界之内的角；如果一个多边形的所有内角均小于180°，则该多边形为凸(convex)多边形；否则为凹(concave)多边形：

• 凸多边形的任意两个顶点间的连线位于多边形内部或边上；
• 按顺序计算向量叉积：凸多边形均同号，凹多边形不同号。

向量叉乘判别法

向量叉乘法，只对非凹多边形有效，对于凹多边形需要切割为凸多边形。

设多边形的顶点依次为A1, A2 … An，要判断的点为P，那么：

• 分别计算向量PA1叉乘向量PA2，向量PA2叉乘向量PA3，…，向量PA(n-1)叉乘向量PAn，以及向量PAn叉乘向量PA1；
• 若这些叉乘的结果都同向的话，那么这个点就在多边形的内部。

面积和判别法

判断目标点与多边形的每条边组成的三角形面积和，是否等于该多边形，相等则在多边形内部。

设多边形的顶点依次为1,2,...,n，要判断的点为P。用P点连接多边形各顶点：

• 若P点在多边形以内，则P与各顶点组成的三角形正好填充此多边形；反之，则不能。
• 使用多边形面积计算公式，计算面积S（根据叉乘原理）：
  $S=\frac{1}{2}\left|\sum _{i=1}^n(x_i\ast y_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)\right|$
  其中$x_{n+1}=x1,y_{n+1}=y1$
• 使P点作为参考点，计算各三角形面积和，则有：
  $S=\frac{1}{2}\left|\sum _{i=1}^n((x_i-x_p)\ast (y_{i+1}-y_p)-(x_{i+1}-x_p)\ast (y_i-y_p))\right|$
• 若面积一致则在多边形以内，反之则不在多边形以内。

夹角和判别法

夹角和判别法，只对非凹多边形有效，对于凹多边形需要切割为凸多边形。

判断目标点与所有边的夹角和是否为360度，为360度则在多边形内部。

引射线法

从目标点出发引一条射线，看这条射线和多边形所有边的交点数目：

• 有奇数个交点，则说明在内部；
• 有偶数个交点，则说明在外部。

射线法就是做一条从P点出发的射线，当穿过区域边界的次数为偶数时该点在区域外，如果是奇数则在区域内：

一条射线穿过区域的边界只有两种情况，穿入和穿出：

• 当点在区域外时，射线首次经过边界时一定是穿入，且每次穿入必对应一次穿出，所以最终的穿越次数一定是偶数；
• 当点在区域内时，射线首次经过边界一定是穿出；若后续有穿入，必对应一次穿出；所以最终的穿越总数是奇数；

一般为处理方便，都做水平方向的射线；以下几种情况需要特殊处理：

• 点在边界上，根据实际需要做区域内或区域外处理；

• 射线穿过交点：

  • 若两个线段的另外一个端点在射线的两侧，则算做穿越；如交点P2处的P1与P3；
  • 若端点在同侧，则不算穿越；如交点P5处的P4与P6；
    

• 射线穿过边（与边重合）：与交点类似，可看做不穿越

PNPoly算法

W. Randolph Franklin提出的PNPoly可以非常方便地判断点是否在多边形内；假设多边形的坐标存放在一个数组里。

先分别找出多边形顶点的X坐标和Y坐标的最小/最大值，然后判断目标坐标点是否在这个四边形之内：

if (p.x < minX || p.x > maxX || p.y < minY || p.y > maxY) {
    // 这个测试都过不了。。。直接返回false；
}
1
2
3

判断点是否在多边形内：

// nSize：多边形中的顶点数
// vert：包含多边形顶点的x和y坐标的数组。
// test：需要判断的点位置
int pnpoly (Point[] vert, int nSize, Point test) {
    int i, j, c = 0;
    for (i = 0, j = nSize-1; i < nSize; j = i++) {
        if ( ( (vert.y[i]>test.y) != (vert.y[j]>test.y) ) && (test.x < (vert.x[j]-vert.x[i]) * (test.y-vert.y[i]) / (vert.y[j]-vert.y[i]) + vert.x[i]) )
            c = !c;
    }
    return c;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

每次计算都涉及到相邻的两个点和待测试点：

• 被测试点的纵坐标test.y是否在本次测试的两个相邻点纵坐标范围之内：即vert.y[i] ；
• 被测点test是否在i,j两点之间的连线之下（相交判断）；

相交点c的坐标为：
$$\begin{gathered} \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\frac{x^{\prime }-x_1}{y-y_1} \\ \Rightarrow x^{\prime }=x_1+\frac{(x_2-x_1)(y-y_1)}{y_2-y_1} \end{gathered}$$