【线性代数基础进阶】向量-补充+练习

概念和定理

向量

${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$及${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\cdots ,{\alpha }_s(其中s\ge r)$，称${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$是${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$的部分组，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$是整体组

向量组${\alpha }_1=(a_{11},a_{21},\cdots ,a_{r1}{)}^T,{\alpha }_2=(a_{12},a_{22},\cdots ,a_{r2}{)}^T,\cdots ,{\alpha }_{m1}=(a_{1m},a_{2m},\cdots ,a_{rm}{)}^T$及$\widetilde{{\alpha }_1}=(a_{11},a_{21},\cdots ,a_{r1},\cdots ,a_{s1}{)}^T,\widetilde{{\alpha }_2}=(a_{12},a_{22},\cdots ,a_{r2},\cdots ,a_{s2}{)}^T,\cdots ,\widetilde{{\alpha }_m}=(a_{1m},a_{2m},\cdots ,a_{rm},\cdots ,a_{sm}{)}^T$，则称$\widetilde{{\alpha }_1},\widetilde{{\alpha }_2},\cdots ,\widetilde{{\alpha }_m}$为向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$的延伸组（或称${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$是$\widetilde{{\alpha }_1},\widetilde{{\alpha }_2},\cdots ,\widetilde{{\alpha }_m}$的缩短组）

定理：
任何部分组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$相关$\Rightarrow$整体组
${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$相关
整体组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$无关
$\Rightarrow$任何部分组
${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$无关，反之都不成立

定理：
${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$线性无关$\Rightarrow$延伸组$\widetilde{{\alpha }_1},\widetilde{{\alpha }_2},\cdots ,\widetilde{{\alpha }_m}$线性无关
$\widetilde{{\alpha }_1},\widetilde{{\alpha }_2},\cdots ,\widetilde{{\alpha }_m}$线性相关$\Rightarrow {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$线性相关

向量组的秩

向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩，记为$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$

线性相关例题进一步说明

例：
已知${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，证明${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$线性无关

已知某向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关，推新的向量组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$线性无关大致思路，设
$$k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\cdots +k_s{\beta }_s=0$$
向${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$化简，即类似
$$m_1{\alpha }_1+m_2{\alpha }_2+\cdots +m_n{\alpha }_n=0$$
其中$m_1,\cdots ,m_n$由$k_1,\cdots ,k_s$表示，通过条件
$$b_1{\alpha }_1+b_2{\alpha }_2+\cdots +b_n{\alpha }_n=0$$
只有当$b_1=b_2=\cdots =b_n=0$时上式成立，证明
$$k_1=k_2=\cdots =k_s=0$$

设
k 1 ( α 1 + α 2 ) + k 2 ( α 2 + α 3 ) + k 3 ( α 3 + α 1 ) = 0 ( k 1 + k 3 ) α 1 + ( k 1 + k 2 ) α 2 + ( k 2 + k 3 ) α 3 = 0

k1​(α1​+α2​)+k2​(α2​+α3​)+k3​(α3​+α1​)(k1​+k3​)α1​+(k1​+k2​)α2​+(k2​+k3​)α3​​=0=0​
因为${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关
{ k 1 + k 3 = 0 k 1 + k 2 = 0 k 2 + k 3 = 0 (1)

{k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0$$\{\begin{array}{l}{k}_1+k_3=0\\ k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0\end{array}$$

\tag{1} ⎩ ⎨ ⎧​k1​+k3​=0k1​+k2​=0k2​+k3​=0​(1)
由
∣ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ∣ = 2 ≠ 0

|101110011|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣110011101∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$$

=2\ne0 ∣ ∣​110​011​101​∣ ∣​=2=0
齐次方程组$(1)$只有$0$解，即必有$k_1=0,k_2=0,k_3=0$，因此${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$线性无关

已知${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，无法证明${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_1$线性无关

设
k 1 ( α 1 − α 2 ) + k 2 ( α 2 − α 3 ) + k 3 ( α 3 − α 1 ) = 0 ( k 1 − k 3 ) α 1 + ( k 2 − k 1 ) α 2 + ( k 3 − k 2 ) α 3 = 0

k1​(α1​−α2​)+k2​(α2​−α3​)+k3​(α3​−α1​)(k1​−k3​)α1​+(k2​−k1​)α2​+(k3​−k2​)α3​​=0=0​
因为${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关
{ k 1 − k 3 = 0 k 2 − k 1 = 0 k 3 − k 2 = 0 (1)

{k1−k3=0k2−k1=0k3−k2=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨k1−k3=0k2−k1=0k3−k2=0$$\{\begin{array}{l}{k}_1-k_3=0\\ k_2-k_1=0\\ k_3-k_2=0\end{array}$$

\tag{1} ⎩ ⎨ ⎧​k1​−k3​=0k2​−k1​=0k3​−k2​=0​(1)
由
∣ 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ∣ = 0

|10−1−1100−11|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣1−1001−1−101∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right|$$

=0 ∣ ∣​1−10​01−1​−101​∣ ∣​=0
齐次方程组$(1)$有非零解，无法证明$k_1=0,k_2=0,k_3=0$，因此无法证明${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_1$线性无关

秩

例：向量组$(1):{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3;(2):{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4;(3):{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$，若秩$r(1)=3,r(2)=3,r(3)=4$，则$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4+{\alpha }_5)=()$

由$r(1)=3$知，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关
由$r(2)=4$知，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性相关
故${\alpha }_4$可以由

以下可以用分析或计算

${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表出，那么向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$与${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4+{\alpha }_5$可以相互线性表示，即向量组等价
所以$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4+{\alpha }_5)=r(3)=4$
或用计算
设${\alpha }_4=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$，则
( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 + α 5 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 , k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + α 5 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 5 ) ( 1 0 0 k 1 0 1 0 k 2 0 0 1 k 3 0 0 0 1 )

(α1​,α2​,α3​,α4​+α5​)​=(α1​,α2​,α3​,k1​α1​+k2​α2​+k3​α3​+α5​)=(α1​,α2​,α3​,α5​)⎝ ⎛​1000​0100​0010​k1​k2​k3​1​⎠ ⎞​​
由于矩阵 ( 1 0 0 k 1 0 1 0 k 2 0 0 1 k 3 0 0 0 1 )

(100k1010k2001k30001)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜⎜⎜100001000010k1k2k31⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& k_1\\ 0& 1& 0& k_2\\ 0& 0& 1& k_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

⎝ ⎛​1000​0100​0010​k1​k2​k3​1​⎠ ⎞​可逆，故$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4+{\alpha }_5)=r(3)=4$

矩阵的秩

例：设$A,B$都是$n$阶非零矩阵，且$AB=O$，证明$A$和$B$的秩都小于$n$

不会0_o，以后会补上的

正交规范化、正交矩阵在特征值和特征向量里

$Ax=b$解的性质

例：设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是四元非齐次线性方程组$Ax=b$的三个就行了，且秩$r(A)=3$，${\alpha }_1=(1,2,3,4{)}^T,{\alpha }_2+{\alpha }_3=(0,1,2,3{)}^T$，则方程组$Ax=b$的通解是（）

由于$n-r(A)=4-3=1$，所以方程组通解形式为$\alpha +k\eta$，现在特解已知可取${\alpha }_1$，下面就是应找出导出组$Ax=0$的一个非零解
因为$A{a}_i=b,(i=1,2,3)$，有$A[2{\alpha }_1-({\alpha }_2+{\alpha }_3)]=0$，即
$$2{\alpha }_1-({\alpha }_2+{\alpha }_3)=(2,3,4,5{)}^T$$
是$Ax=0$的一个非零解，于是方程组通解为$(1,2,3,4{)}^T+k(2,3,4,5{)}^T$，$k$是任意常数