Q格式的数据

1 前言

Q格式是的定二进制点数格式，相对于浮点数，Q格式指定了相应的小数位数和整数位数，在没有浮点运算的平台上，可以更快地对浮点数据进行处理，以及应用在需要恒定分辨率的程序中（浮点数的精度是会变化的）。

需要注意的是，Q格式是概念上小数定点，通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数，从而达到所需要的数值范围和精度，这里可能有点抽象，下面继续看介绍。

2 Q数据的表示

2.1 范围和精度

定点数通常表示为，其中m为整数个数，n为小数个数，其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储：

• 范围：，
• 精度：

无符号的用表示：

• 范围：，
• 精度：

2.2 推导

无符号Q格式数据的推导这里以一个16位无符号整数为例，所能表示的最大数据的二进制形式，如下图所示：

所以不难看出，的范围大小和精度；根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

 

小数域最大值如下：

因此的范围满足 ，；

有符号Q格式数据的推导这里以一个16位有符号整数为例，所能表示的最大数据的二进制形式，如下图所示：

所以不难求出，的范围大小和精度；根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

小数域最大值如下：

因此最大能表示的数为：；

所能表示的最小数据的二进制形式，如下图所示：

可以从图中看到，该数表示为；

补充一下：负数在计算机中是补码的形式存在的， 补码=反码+1，符号位为 1则表示为负数；
那么 -4该如何表示呢？
以 8 bit数据为例，如下所示；
原码： 0B 0000 100
反码： 0B 1111 011
补码： 0B 1111 100

综上，可以得到有符号的范围是：，

3 Q数据的运算

3.1 0x7FFF

最大数的十六进制为0x7FFF，如下图所示：

3.2 0x8000

最小数的十六进制为0X8000，如下图所示：

上述这两种情况，下面都会用到。

3.3 加法

加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同，即和满足以下条件：

int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

上面的程序其实并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出检测，具体如下所示：

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int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;
 
    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;
 
    return result;
}

3.4 减法

类似于加法的操作，需要相同定标的两个Q格式数进行相减，但是不会存在溢出的情况。

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int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}

3.5 乘法

乘法同样需要考虑溢出的问题，这里通过sat16函数，对溢出做了处理。

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// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
    if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
    else if (x < -0x8000) return -0x8000;
    else return (int16_t)x;
}
 
int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;
 
    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);
    return result;
}

3.6 除法

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int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}

4 常见Q格式的数据范围

定点数和浮点数转换的关系满足以下公式：

其中为， m表示整数位数， n表示小数位数；

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>
 
 
int main()
{
    // 0111 1111 1111 1111
    int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
    // 1000 0000 0000 0000
    int16_t q_min = -32768; // 0x8000
    float f_max = 0;
    float f_min = 0;
    printf("\r\n");
    for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {
        f_max = (float)q_max / pow(2,i);
        f_min = (float)q_min / pow(2,i);
 
        printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",
               i,(15-i),i,f_max,f_min);
    }
 
    return 0;
}