通过FIR滤波器的输出，出现信号的延迟，校正信号的延迟量

当信号通过FIR滤波器的输出，我们能发现输出数据的前部经常为0值，这可能是由于滤波器的延迟造成的，那么对滤波器的延迟量能否修正？一旦修正后输出数据就变短了，又如何处理呢？

这是在通过FIR滤波器时经常遇到的问题。实际上通过FIR滤波器输出的延迟量能修正，而且输出数据也不会变短，这就是下面要讨论的问题。

由于主要是使用第1类FIR滤波器，可知第1类滤波器的相位角为

 

可看出延迟量τg是（N-1）/2（单位：样点），所以在时间域上消除延迟的（N-1）/2个样点，就
能把FIR滤波器输出数据校正。

案例、 有一个信号由两个正弦信号组成，这两正弦信号的频率分别为5Hz和20Hz，信号幅值都为1，初始相位分别为45°和60°，对信号采样频率为100Hz，信号长为100。在该信号中要消除20Hz，需要设计低通滤波器，通带和阻带为fp=10Hz，fs=15Hz，通带波纹和阻带衰减为Rp=3dB，As=60dB。对滤波器的输出要消除延迟的影响。

由于阻带衰减为60dB，故选择布莱克曼窗函数。程序如下：

clear all; clc; close all;
 
% 信号构成
N=100;                                    % 数据长
Fs=100;                                   % 采样频率
Fs2=Fs/2;                                 % 奈奎斯特频率
f1=5; f2=20;                              % 两正弦信号频率
phy1=pi/4; phy2=pi/3;                     % 两正弦信号初始相位角
t=(0:N-1)/Fs;                             % 时间刻度
x=cos(2*pi*f1*t+phy1)+cos(2*pi*f2*t+phy2);% 构成输入信号 
% FIR低通滤波器设计
fp=10; fs=15;                             % 通带和阻带频率
Rp=3; As=60;                              % 通带波纹和阻带衰减
wp=fp*pi/Fs2; ws=fs*pi/Fs2;               % 归一化角频率
deltaw= ws - wp;                          % 过渡带宽Δω的计算
M = ceil(11*pi/ deltaw);                  % 按布莱克曼窗计算滤波器阶数M
M = M + mod(M,2);                         % 保证滤波器系数长M+1为奇数
wind = (blackman(M+1))';                  % 布莱克曼窗函数
Wn=(fp+fs)/Fs;                            % 计算截止频率
b=fir1(M,Wn,wind);                        % 用fir1函数设计FIR第1类滤波器
[db,mag,phs,gdy,w]=freqz_m(b,1);          % 计算滤波器响应
% 信号滤波
y1=filter(b,1,x);                         % 用filter函数进行滤波
y2=conv(b,x);                             % 用conv函数进行滤波
y21=y2(M/2+1:M/2+N);                      % 取y2中的有效部分
N2=length(y2);                            % 求y2长度
t2=(0:N2-1)/Fs;                           % y2的时间刻度
% 作图
figure(1)
pos = get(gcf,'Position');
set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),(pos(4)-160)]);
plot(w/pi*Fs2,db,'k')
title('低通滤波器的幅值响应');
grid; axis([0 Fs2 -150 10]); 
xlabel('频率/Hz');  ylabel('幅值/dB')
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,10,15,20,50])
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-100,-60,0])
set(gcf,'color','w');
figure(2)
subplot 311; plot(t,y1,'k');
ylim([-1.1 1.1]);
title('(a)通过filter函数FIR滤波器的输出');
xlabel('时间/s'); ylabel('幅值')
subplot 312; plot(t2,y2,'k');
ylim([-1.1 1.1]);
title('(b)通过conv函数FIR滤波器的输出');
xlabel('时间/s'); ylabel('幅值')
subplot 313; plot(t,y21,'k');
ylim([-1.1 1.1]);
title('(c)对(b)的输出进行修正');
xlabel('时间/s'); ylabel('幅值')
set(gcf,'color','w');

运行结果如下：

 

 

分析：

对FIR滤波器的滤波过程可以用filter函数也可用conv函数，但这两个函数滤波的结果是完全不同的。从基础理论部分，我们知道第1类FIR滤波器的输出将会产生延迟（M-1）/2，M是滤波器的长度（或为N/2，N是第1类FIR滤波器的阶数）。当用函数conv来滤波时滤波器输出：y=conv（x，b)，y序列长度是L+M-1，其中L为数据x的长度，M是滤波器的长度。由于x只有L长，在输出y中只有L长的数据是滤波器输出的有效部分，而我们已知滤波器的输出有（M-1）/2个样点的延迟，所以输出y中从（M-1）/2+1开始取数值，取L长的样点，构成y的有效部分。
filter函数输出只有L长，它把（M-1）/2个由延迟产生的无效样点也包含在内。从图(a)中看到，filter函数输出y1的波形中一大半是接近0值，这是因为FIR滤波器是N=112阶，延迟量N/2=56个样点，在采样频率100Hz时占大于0.5s的时间，所以y1的波形中大于一半是接近0值；如果把前面的时延部分删除，则输出数据变短了。
通过conv函数的输出y2，波形图显示在图（b）中，由于y2长L+M-1，所以时间上大于2s。取了y21=y2（（M-1)/2+1：（M-1)/2+L）后得y21，显示在图（c)中，这就是我们所需要的滤波后输出的正弦信号。

但是得到的滤波输出y21也不是完全没有问题，在初始部分由于瞬态现象的存在，与原始输入信号之间还存在一些偏差。

参考文献：MATLAB数字信号处理85个实用案例精讲——入门到进阶；宋知用（编著）