高等数学（第七版）同济大学 习题5-3 个人解答（后4题）

高等数学（第七版）同济大学 习题5-3（后4题）

 

$\begin{array}{rlr}& 4.证明：{\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx={\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{m}dx(m，n\in N).& \end{array}$

解：

  令 u = 1 − x ，则 x = 1 − u ， d x = − d u ，得 ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = − ∫ 1 0 ( 1 − u ) m u n d u =    ∫ 0 1 u n ( 1 − u ) m d u = ∫ 0 1 x n ( 1 − x ) m d x   令u=1−x，则x=1−u，dx=−du，得∫10xm(1−x)ndx=−∫01(1−u)mundu=  ∫10un(1−u)mdu=∫10xn(1−x)mdx

​  令u=1−x，则x=1−u，dx=−du，得∫01​xm(1−x)ndx=−∫10​(1−u)mundu=  ∫01​un(1−u)mdu=∫01​xn(1−x)mdx​​

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$\begin{array}{rlr}& 5.设f(x)在[0,1]上连续，n\in Z，证明：{\int }_{\frac{n}{2}\pi }^{\frac{n+1}{2}\pi }f(|sinx|)dx={\int }_{\frac{n}{2}\pi }^{\frac{n+1}{2}\pi }f(|cosx|)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx.& \end{array}$

解：

  令 x = u + n 2 π ，则 d x = d u ，得    ∫ n 2 π n + 1 2 π f ( ∣ s i n   x ∣ ) d x = ∫ 0 π 2 f ( ∣ s i n ( u + n 2 π ) ∣ ) d u = { ∫ 0 π 2 f ( s i n   u ) d u ， n 为偶数， ∫ 0 π 2 f ( c o s   u ) d u ， n 为奇数 .    ∫ n 2 π n + 1 2 π f ( ∣ c o s   x ∣ ) d x = ∫ 0 π 2 f ( ∣ c o s ( u + n 2 π ) ∣ ) d u = { ∫ 0 π 2 f ( c o s   u ) d u ， n 为偶数， ∫ 0 π 2 f ( s i n   u ) d u ， n 为奇数 .   因为 ∫ 0 π 2 f ( s i n   x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( c o s   x ) d x ，所以， ∫ n 2 π n + 1 2 π f ( ∣ s i n   x ∣ ) d x = ∫ n 2 π n + 1 2 π f ( ∣ c o s   x ∣ ) d x = ∫ 0 π 2 f ( s i n   x ) d x   令x=u+n2π，则dx=du，得  ∫n+12πn2πf(|sin x|)dx=∫π20f(|sin(u+n2π)|)du={∫π20f(sin u)du，n为偶数，∫π20f(cos u)du，n为奇数.  ∫n+12πn2πf(|cos x|)dx=∫π20f(|cos(u+n2π)|)du={∫π20f(cos u)du，n为偶数，∫π20f(sin u)du，n为奇数.  因为∫π20f(sin x)dx=∫π20f(cos x)dx，所以，∫n+12πn2πf(|sin x|)dx=∫n+12πn2πf(|cos x|)dx=∫π20f(sin x)dx

​  令x=u+2n​π，则dx=du，得  ∫2n​π2n+1​π​f(∣sin x∣)dx=∫02π​​f(∣ ∣​sin(u+2n​π)∣ ∣​)du=⎩ ⎨ ⎧​∫02π​​f(sin u)du，n为偶数，∫02π​​f(cos u)du，n为奇数.​  ∫2n​π2n+1​π​f(∣cos x∣)dx=∫02π​​f(∣ ∣​cos(u+2n​π)∣ ∣​)du=⎩ ⎨ ⎧​∫02π​​f(cos u)du，n为偶数，∫02π​​f(sin u)du，n为奇数.​  因为∫02π​​f(sin x)dx=∫02π​​f(cos x)dx，所以，∫2n​π2n+1​π​f(∣sin x∣)dx=∫2n​π2n+1​π​f(∣cos x∣)dx=∫02π​​f(sin x)dx​​

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$\begin{array}{rlr}& 6.若f(t)是连续的奇函数，证明{\int }_0^{x}f(t)dt是偶函数；若f(t)是连续的偶函数，证明{\int }_0^{x}f(t)dt是奇函数.& \end{array}$

解：

  记 F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t ，有 F ( − x ) = ∫ 0 − x f ( t ) d t ，令 t = − u ，得 ∫ 0 − x f ( t ) d t = − ∫ 0 x f ( − u ) d u ，   当 f ( x ) 为奇函数时， F ( − x ) = ∫ 0 x f ( u ) d u = F ( x ) ，所以， ∫ 0 x f ( t ) d t 是偶函数。   当 f ( x ) 为偶函数时， F ( − x ) = − ∫ 0 x f ( u ) d u = − F ( x ) ，所以， ∫ 0 x f ( t ) d t 奇函数。   记F(x)=∫x0f(t)dt，有F(−x)=∫−x0f(t)dt，令t=−u，得∫−x0f(t)dt=−∫x0f(−u)du，  当f(x)为奇函数时，F(−x)=∫x0f(u)du=F(x)，所以，∫x0f(t)dt是偶函数。  当f(x)为偶函数时，F(−x)=−∫x0f(u)du=−F(x)，所以，∫x0f(t)dt奇函数。

​  记F(x)=∫0x​f(t)dt，有F(−x)=∫0−x​f(t)dt，令t=−u，得∫0−x​f(t)dt=−∫0x​f(−u)du，  当f(x)为奇函数时，F(−x)=∫0x​f(u)du=F(x)，所以，∫0x​f(t)dt是偶函数。  当f(x)为偶函数时，F(−x)=−∫0x​f(u)du=−F(x)，所以，∫0x​f(t)dt奇函数。​​

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$\begin{array}{rlr}& 7.计算下列定积分：& \end{array}$

   ( 1 )    ∫ 0 1 x e − x d x ；                                            ( 2 )    ∫ 1 e x l n   x d x ；    ( 3 )    ∫ 0 2 π ω t s i n   ω t d t   ( ω 为常数 ) ；                    ( 4 )    ∫ π 4 π 3 x s i n 2   x d x ；    ( 5 )    ∫ 1 4 l n   x x d x ；                                             ( 6 )    ∫ 0 1 x a r c t a n   x d x ；    ( 7 )    ∫ 0 π 2 e 2 x c o s   x d x ；                                      ( 8 )    ∫ 1 2 x l o g 2 x d x ；    ( 9 )    ∫ 0 π ( x s i n   x ) 2 d x ；                                     ( 10 )    ∫ 1 e s i n ( l n   x ) d x ；    ( 11 )    ∫ 1 e e ∣ l n   x ∣ d x ；                                          ( 12 )    ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) m 2 d x   ( m ∈ N + ) ；    ( 13 )    J m = ∫ 0 π x s i n m   x d x   ( m ∈ N + )   (1)  ∫10xe−xdx；                                           (2)  ∫e1xln xdx；  (3)  ∫2πω0tsin ωtdt (ω为常数)；                   (4)  ∫π3π4xsin2 xdx；  (5)  ∫41ln x√xdx；                                            (6)  ∫10xarctan xdx；  (7)  ∫π20e2xcos xdx；                                     (8)  ∫21xlog2xdx；  (9)  ∫π0(xsin x)2dx；                                    (10)  ∫e1sin(ln x)dx；  (11)  ∫e1e|ln x|dx；                                         (12)  ∫10(1−x2)m2dx (m∈N+)；  (13)  Jm=∫π0xsinm xdx (m∈N+)

​  (1)  ∫01​xe−xdx；                                           (2)  ∫1e​xln xdx；  (3)  ∫0ω2π​​tsin ωtdt (ω为常数)；                   (4)  ∫4π​3π​​sin2 xx​dx；  (5)  ∫14​x ​ln x​dx；                                            (6)  ∫01​xarctan xdx；  (7)  ∫02π​​e2xcos xdx；                                     (8)  ∫12​xlog2​xdx；  (9)  ∫0π​(xsin x)2dx；                                    (10)  ∫1e​sin(ln x)dx；  (11)  ∫e1​e​∣ln x∣dx；                                         (12)  ∫01​(1−x2)2m​dx (m∈N+​)；  (13)  Jm​=∫0π​xsinm xdx (m∈N+​)​​

解：

   ( 1 )   ∫ 0 1 x e − x d x = − ∫ 0 1 x d ( e − x ) = − [ x e − x ] 0 1 + ∫ 0 1 e − x d x = − e − 1 + [ − e − x ] 0 1 = 1 − 2 e    ( 2 )   ∫ 1 e x l n   x d x = ∫ 1 e 1 2 l n   x d ( x 2 ) = [ 1 2 x 2 l n   x ] 1 e − ∫ 1 e 1 2 x d x = 1 4 ( e 2 + 1 )    ( 3 )   ∫ 0 2 π ω t s i n   ω t d t = − 1 ω ∫ 0 2 π ω t d ( c o s   ω t ) = − 1 ω [ t c o s   ω t ] 0 2 π ω + 1 ω ∫ 0 2 π ω c o s   ω t d t = − 2 ω 2 π + 1 ω 2 [ s i n   ω t ] 0 2 π ω − − 2 ω 2 π    ( 4 )   ∫ π 4 π 3 x s i n 2   x d x = − ∫ π 4 π 3 x d ( c o t   x ) = [ − x c o t   x ] π 4 π 3 + ∫ π 4 π 3 c o t   x d x = − 1 3 3 π + 1 4 π + [ l n   s i n   x ] π 4 π 3 =           ( 1 4 − 3 9 ) π + 1 2 l n   3 2    ( 5 )   ∫ 1 4 l n   x x d x = ∫ 1 4   2 l n   x d x = [ 2 x l n   x ] 1 4 − ∫ 1 4 2 x d x = 8 l n   2 − [ 4 x ] 1 4 = 8 l n   2 − 4    ( 6 )   ∫ 0 1 x a r c t a n   x d x = 1 2 ∫ 0 1 a r c t a n   x d ( x 2 ) = [ 1 2 x 2 a r c t a n   x ] 0 1 − 1 2 ∫ 0 1 x 2 1 + x 2 d x = 1 8 π − 1 2 [ x − a r c t a n   x ] 0 1 = 1 4 π − 1 2    ( 7 )   ∫ 0 π 2 e 2 x c o s   x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 c o s   x d ( e 2 x ) = 1 2 [ e 2 x c o s   x ] 0 π 2 + 1 2 ∫ 0 π 2 e 2 x s i n   x d x = − 1 2 + 1 4 ∫ 0 π 2 s i n   x d ( e 2 x ) =          − 1 2 + 1 4 [ e 2 x s i n   x ] 0 π 2 − 1 4 ∫ 0 π 2 e 2 x c o s   x d x ，得 ∫ 0 π 2 e 2 x c o s   x d x = 1 5 ( e π − 2 )      ( 8 )   ∫ 1 2 x l o g 2 x d x = 1 2 ∫ 1 2 l o g 2 x d ( x 2 ) = 1 2 [ x 2 l o g 2 x ] 1 2 − 1 2 ∫ 1 2 x l n   2 d x = 2 − 1 4 l n   2 [ x 2 ] 1 2 = 2 − 3 4 l n   2    ( 9 )   ∫ 0 π ( x s i n   x ) 2 d x = 1 2 ∫ 0 π x 2 ( 1 − c o s   2 x ) d x = 1 6 π 3 − 1 4 ∫ 0 π x 2 d ( s i n   2 x ) = 1 6 π 3 − 1 4 [ x 2 s i n   2 x ] 0 π + 1 2 ∫ 0 π x s i n   2 x d x =           1 6 π 3 − 1 4 ∫ 0 π x d ( c o s   2 x ) = 1 6 π 3 − 1 4 [ x c o s   2 x ] 0 π + 1 4 ∫ 0 π c o s   2 x d x = 1 6 π 3 − 1 4 π    ( 10 )  令 x = e u ，得 ∫ 1 e s i n ( l n   x ) d x = ∫ 0 1 e u s i n   u d u = [ e u s i n   u ] 0 1 − ∫ 0 1 e u c o s   u d x =            e s i n   1 − [ e u c o s   u ] 0 1 − ∫ 0 1 e u s i n   u d u = e ( s i n   1 − c o s   1 ) + 1 − ∫ 0 1 e u s i n   u d u ，           所以， ∫ 1 e s i n ( l n   x ) d x = e 2 ( s i n   1 − c o s   1 ) + 1 2    ( 11 )   ∫ 1 e e ∣ l n   x ∣ d x = − ∫ 1 e 1 l n   x d x + ∫ 1 e l n   x d x = − [ x l n   x ] 1 e 1 + ∫ 1 e 1 d x + [ x l n   x ] 1 e − ∫ 1 e d x = 2 − 2 e    ( 12 )  令 x = s i n   u ，得           ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) m 2 d x = ∫ 0 π 2 c o s m + 1 u d u = { m m + 1 ⋅ m − 2 m − 1 ⋅ . . . ⋅ 1 2 ⋅ π 2 ， m 为奇数， m m + 1 ⋅ m − 2 m − 1 ⋅ . . . ⋅ 2 3 ，       m 为偶数，            = { 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ m 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ . . . ⋅ ( m + 1 ) ⋅ π 2 ， m 为奇数， 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ . . . ⋅ m 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ ( m + 1 ) ，       m 为偶数，    ( 13 )   J m = ∫ 0 π x s i n m   x d x = π 2 ∫ 0 π s i n m   x d x ，令 x = π 2 + t ，得 ∫ 0 π s i n m   x d x = ∫ − π 2 π 2 c o s m   t d t =            2 ∫ 0 π 2 c o s m   t d t = 2 ∫ 0 π 2 s i n m   x d x ，所以， J m = π ∫ 0 π 2 s i n m   x d x ，得            J m = { 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ . . . ⋅ ( m − 1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ m ⋅ π ， m 为大于 1 的奇数，   1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ ( m − 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ . . . ⋅ m ⋅ π 2 2 ， m 为偶数， ， J 1 = π   (1) ∫10xe−xdx=−∫10xd(e−x)=−[xe−x]10+∫10e−xdx=−e−1+[−e−x]10=1−2e  (2) ∫e1xln xdx=∫e112ln xd(x2)=[12x2ln x]e1−∫e112xdx=14(e2+1)  (3) ∫2πω0tsin ωtdt=−1ω∫2πω0td(cos ωt)=−1ω[tcos ωt]2πω0+1ω∫2πω0cos ωtdt=−2ω2π+1ω2[sin ωt]2πω0−−2ω2π  (4) ∫π3π4xsin2 xdx=−∫π3π4xd(cot x)=[−xcot x]π3π4+∫π3π4cot xdx=−13√3π+14π+[ln sin x]π3π4=         (14−√39)π+12ln 32  (5) ∫41ln x√xdx=∫41 2ln xd√x=[2√xln x]41−∫412√xdx=8ln 2−[4√x]41=8ln 2−4  (6) ∫10xarctan xdx=12∫10arctan xd(x2)=[12x2arctan x]10−12∫10x21+x2dx=18π−12[x−arctan x]10=14π−12  (7) ∫π20e2xcos xdx=12∫π20cos xd(e2x)=12[e2xcos x]π20+12∫π20e2xsin xdx=−12+14∫π20sin xd(e2x)=        −12+14[e2xsin x]π20−14∫π20e2xcos xdx，得∫π20e2xcos xdx=15(eπ−2)   (8) ∫21xlog2xdx=12∫21log2xd(x2)=12[x2log2x]21−12∫21xln 2dx=2−14ln 2[x2]21=2−34ln 2  (9) ∫π0(xsin x)2dx=12∫π0x2(1−cos 2x)dx=16π3−14∫π0x2d(sin 2x)=16π3−14[x2sin 2x]π0+12∫π0xsin 2xdx=         16π3−14∫π0xd(cos 2x)=16π3−14[xcos 2x]π0+14∫π0cos 2xdx=16π3−14π  (10) 令x=eu，得∫e1sin(ln x)dx=∫10eusin udu=[eusin u]10−∫10eucos udx=          esin 1−[eucos u]10−∫10eusin udu=e(sin 1−cos 1)+1−∫10eusin udu，          所以，∫e1sin(ln x)dx=e2(sin 1−cos 1)+12  (11) ∫e1e|ln x|dx=−∫11eln xdx+∫e1ln xdx=−[xln x]11e+∫11edx+[xln x]e1−∫e1dx=2−2e  (12) 令x=sin u，得         ∫10(1−x2)m2dx=∫π20cosm+1udu={mm+1⋅m−2m−1⋅...⋅12⋅π2，m为奇数，mm+1⋅m−2m−1⋅...⋅23，      m为偶数，          ={1⋅3⋅5⋅...⋅m2⋅4⋅6⋅...⋅(m+1)⋅π2，m为奇数，2⋅4⋅6⋅...⋅m1⋅3⋅5⋅...⋅(m+1)，      m为偶数，  (13) Jm=∫π0xsinm xdx=π2∫π0sinm xdx，令x=π2+t，得∫π0sinm xdx=∫π2−π2cosm tdt=          2∫π20cosm tdt=2∫π20sinm xdx，所以，Jm=π∫π20sinm xdx，得          Jm={2⋅4⋅6⋅...⋅(m−1)1⋅3⋅5⋅...⋅m⋅π，m为大于1的奇数， 1⋅3⋅5⋅...⋅(m−1)2⋅4⋅6⋅...⋅m⋅π22，m为偶数，，J1=π

 ​  (1) ∫01​xe−xdx=−∫01​xd(e−x)=−[xe−x]01​+∫01​e−xdx=−e−1+[−e−x]01​=1−e2​  (2) ∫1e​xln xdx=∫1e​21​ln xd(x2)=[21​x2ln x]1e​−∫1e​21​xdx=41​(e2+1)  (3) ∫0ω2π​​tsin ωtdt=−ω1​∫0ω2π​​td(cos ωt)=−ω1​[tcos ωt]0ω2π​​+ω1​∫0ω2π​​cos ωtdt=−ω22​π+ω21​[sin ωt]0ω2π​​−−ω22​π  (4) ∫4π​3π​​sin2 xx​dx=−∫4π​3π​​xd(cot x)=[−xcot x]4π​3π​​+∫4π​3π​​cot xdx=−33 ​1​π+41​π+[ln sin x]4π​3π​​=         (41​−93 ​​)π+21​ln 23​  (5) ∫14​x ​ln x​dx=∫14​ 2ln xdx ​=[2x ​ln x]14​−∫14​x ​2​dx=8ln 2−[4x ​]14​=8ln 2−4  (6) ∫01​xarctan xdx=21​∫01​arctan xd(x2)=[21​x2arctan x]01​−21​∫01​1+x2x2​dx=81​π−21​[x−arctan x]01​=41​π−21​  (7) ∫02π​​e2xcos xdx=21​∫02π​​cos xd(e2x)=21​[e2xcos x]02π​​+21​∫02π​​e2xsin xdx=−21​+41​∫02π​​sin xd(e2x)=        −21​+41​[e2xsin x]02π​​−41​∫02π​​e2xcos xdx，得∫02π​​e2xcos xdx=51​(eπ−2)  (8) ∫12​xlog2​xdx=21​∫12​log2​xd(x2)=21​[x2log2​x]12​−21​∫12​ln 2x​dx=2−4ln 21​[x2]12​=2−4ln 23​  (9) ∫0π​(xsin x)2dx=21​∫0π​x2(1−cos 2x)dx=61​π3−41​∫0π​x2d(sin 2x)=61​π3−41​[x2sin 2x]0π​+21​∫0π​xsin 2xdx=         61​π3−41​∫0π​xd(cos 2x)=61​π3−41​[xcos 2x]0π​+41​∫0π​cos 2xdx=61​π3−41​π  (10) 令x=eu，得∫1e​sin(ln x)dx=∫01​eusin udu=[eusin u]01​−∫01​eucos udx=          esin 1−[eucos u]01​−∫01​eusin udu=e(sin 1−cos 1)+1−∫01​eusin udu，          所以，∫1e​sin(ln x)dx=2e​(sin 1−cos 1)+21​  (11) ∫e1​e​∣ln x∣dx=−∫e1​1​ln xdx+∫1e​ln xdx=−[xln x]e1​1​+∫e1​1​dx+[xln x]1e​−∫1e​dx=2−e2​  (12) 令x=sin u，得         ∫01​(1−x2)2m​dx=∫02π​​cosm+1udu=⎩ ⎨ ⎧​m+1m​⋅m−1m−2​⋅...⋅21​⋅2π​，m为奇数，m+1m​⋅m−1m−2​⋅...⋅32​，      m为偶数，​          =⎩ ⎨ ⎧​2⋅4⋅6⋅...⋅(m+1)1⋅3⋅5⋅...⋅m​⋅2π​，m为奇数，1⋅3⋅5⋅...⋅(m+1)2⋅4⋅6⋅...⋅m​，      m为偶数，​  (13) Jm​=∫0π​xsinm xdx=2π​∫0π​sinm xdx，令x=2π​+t，得∫0π​sinm xdx=∫−2π​2π​​cosm tdt=          2∫02π​​cosm tdt=2∫02π​​sinm xdx，所以，Jm​=π∫02π​​sinm xdx，得          Jm​=⎩ ⎨ ⎧​1⋅3⋅5⋅...⋅m2⋅4⋅6⋅...⋅(m−1)​⋅π，m为大于1的奇数， 2⋅4⋅6⋅...⋅m1⋅3⋅5⋅...⋅(m−1)​⋅2π2​，m为偶数，​，J1​=π​​