【洛谷题解/AcWing题解/SCOI2005】P1896/AcWing1064 互不侵犯

原题链接:
洛谷：https://www.luogu.com.cn/problem/P1896
AcWing：https://www.acwing.com/problem/content/description/1066/
难度：提高+/省选-（…）
涉及知识点：状态压缩DP

分析与解决

非常经典的状态压缩DP问题。定义 $f[i][j][k]$ 为摆完前 $i$ 行，摆了 $j$ 个国王，状态为 $k$ 的集合。考虑状态压缩，即用二进制数表示某一行的状态，例如全是 0 的话就是一个国王也没有摆，反之就是全部都摆了（当然这是不合法的状态）。由于题目给出了条件限制，我们就需要考虑当前的状态转移是不是合法的，怎样判定呢？如下两点：

• 相邻两行的某一列不能同时为 1。如果同时为 1 上下就要打起来了。
• 某一行的相邻两列不能同时为 1，否则左右就要打起来了。
• 至于四个角也是某一行的上下左右。

那么对于上面说的第一、二种情况，可以使用位运算。对于第一种情况，使用与与运算；对于第二种运算，使用或运算后判断状态的合法性（左右有没有冲突）。
考虑提前预处理在某一行中从 $0\sim 1<<n$ 的所有状态的合法性，因为可能存在某一些状态自身就是不合法的，用一个 $vector$ 存储所有的合法状态，还要用一个数组记录当前的状态有多少个国王，以便于后面进行状态转移时在体积层（国王数量）判断是否是超过当前数量限制。
然后考虑初始的合法状态间能否进行合法的转移，即执行上文中的两个位运算操作，并且用一个 $vector$ 记录状态转移的关系。
最后再状态转移时，枚举每一个状态的可转移状态，判断数量会不会超过，做一下状态转移即可。用 $a$ 表示当前状态，用 $b$ 表示可转移状态，用 $c$ 表示当前状态的国王数量，状态转移方程为：
$$f[i][j][a]+=f[i][j-c][b]$$
初始化 $f[0][0][0]=1$。

AC代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 12, M = 1 << 10, K = 110;

typedef long long LL;
int n, m;
int cnt[M];
vector<LL> head[M]; //某个状态可以转移过去的状态
vector<LL> state; //预处理的所有合法状态
LL f[N][K][M];

//某个状态是否合法
bool check(int x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if ((x >> i & 1) && (x >> i + 1 & 1)) return false;
    }
    return true;
}

//统计某个状态的1的数量也就是这个状态下摆放的国王数量
int count(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) res += x >> i & 1;
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
    {
        //打表
        if (check(i))
        {
            //是个合法状态
            state.push_back(i);
            cnt[i] = count(i); //摆放的国王数量
        }
    }
    
    //检查某个状态能否向另一个状态转移
    for (int i = 0; i < state.size(); i++)
    {
        for (int j = 0; j < state.size(); j++)
        {
            int a = state[i], b = state[j];
            if ((a & b) == 0 && check(a | b))
            {
                head[i].push_back(j);
                
            }
        }
    }
    
    f[0][0][0] = 1; //初始化
    for (int i = 1; i <= n +1 ; i++)
    {
        for (int j = 0 ; j <= m; j++)
        {
            for (int a = 0; a < state.size(); a++)
            {
                for (auto b : head[a])
                {
                    int c = cnt[state[a]];
                    if (j >= c)
                    {
                        f[i][j][a] += f[i - 1][j - c][b];
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    cout << f[n + 1][m][0];
    return 0;
}
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