高数_第3章重积分_在极坐标下计算二重积分之2

思考一个问题：

在极坐标下计算二重积分：

其中D： x² + y²  ≤ 1在第一象限的部分

解:  积分区域D如下所示

 特别注意：  这里对数求定积分时， 用到了 对数函数lnx的不定积分是xlnx -x +C

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再看一个例题

解： 积分区域D如下图3-18， D的边界 x²  + y² = Rx,  可以化为(x  - R/2)²  + y² =  (R/2) ² ,  

它是圆形在(R/2,   0) , 半径为 R/2的圆， 将极坐标变换代入边界方程 x²  + y² = Rx,  则可转化为r=Rcosθ,   r 和 θ的变化范围,  容易得出  π/2 <= θ <= -π/2,      0≤r≤Rcosθ。

 

 

结论：  在极坐标下计算，

角度 θ 必须是从坐标原点为顶点， r必须是从坐标原点到 积分区域上的点的距离，

要特别注意， 不是以积分区域D 的的圆心为 顶点， 不是以积分区域的圆的半径作为r