【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-补充+练习 & 导数与微分-练习

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函数、极限、连续

极限的存在准则补充

例1：极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=()$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1$$
因此极限不存在

需要分左、右极限的问题常见以下三种

• 分段函数分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同（这里也包括带有绝对值的函数，如$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$
• $e^{\infty }$型极限（如$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}},\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^x,\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}$）
  $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty ,\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}不存在$$
  $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty ,\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^x不存在$$
  即$e^{\infty }\ne \infty ,e^{+\infty }=+\infty ,e^{-\infty }=0$
• $\arctan \infty$型极限（如$\underset{x\to 0}{\lim }\arctan \frac{1}{x},\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan x$）
  $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2},\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2},\underset{x\to 0}{\lim }\arctan \frac{1}{x}不存在$$
  $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2},\underset{x\to +\infty }{}$$