leetcode 53. 最大子数组和(简单dp)

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题目来源： leetcode官网
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💜 题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

🧡 算法分析

此题方法是用dp

算法步骤:

1. 设 f(i)表示以第 i 个数字为结尾的最大连续子序列的 总和 是多少。
2. 初始化 f(0)=nums[0]。
3. 转移方程 f(i)=max(f(i−1)+nums[i],nums[i])。可以理解为当前有两种决策，一种是将第 i 个数字和前边的数字拼接起来；另一种是第 i 个数字单独作为一个新的子序列的开始。
4. 最终答案为 ans=max(f(k)) 0 <= k <= n

优化：
其实可以将上面额外开辟的数组空间优化成一个常量记录下来，然后用常量迭代更新答案即可。见第二个代码。

💚 代码实现

用额外数据空间记录，空间复杂度为 O（n）。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n);
        f[0] = nums[0];
        int re = f[0];

        for(int i = 1; i < n; i ++)
        {
            f[i] = max(nums[i], nums[i] + f[i - 1]);
            re = max(re, f[i]);
        }

        return re;
    }
};
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用常量记录信息，空间复杂度为 O（1）。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int re = INT_MIN;
        for(int i = 0, last  = 0; i < nums.size(); i ++)
        {
            // last = max(nums[i], nums[i] + last);
            last = nums[i] + max(0, last);
            re = max(re, last);
        }

        return re;
    }
};
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执行结果：

💙 时间复杂度分析

其中遍历一次， 时间复杂度为O（n）。
没有用额外的数组，空间复杂度为O（1）。

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