3. 吴恩达深度学习--初始化、正则化、梯度校验

本文所使用的资料已上传到百度网盘【点击下载】，提取码：hnwl ，请在开始之前下载好所需资料。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn
import sklearn.datasets
from testCases import *
import init_utils   # 初始化
import reg_utils    # 正则化
import gc_utils     # 梯度校验
%matplotlib inline
plt.rcParams['figure.figsize'] = (7.0, 4.0)
plt.rcParams['image.interpolation'] = 'nearest'
plt.rcParams['image.cmap'] = 'gray'
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一、初始化参数

读取并绘制数据

train_X, train_Y, test_X, test_Y = init_utils.load_dataset(is_plot=True)
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我们将要建立一个分类器把蓝点和红点分开，在此之前我们已经实现过一个 3 层的神经网络，我们将对其进行初始化，并比较三种初始化的效果。

• 初始化为 0：将输入参数全部初始化为 0，参数名为：initialization="zeros"，核心代码为：

parameters["W" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))
1

• 随机初始化：将输入参数设置为随机值，权重初始化为大的随机值。参数名为：initialization="random"，核心代码为：

parameters["W" + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * 10
1

• 抑梯度异常初始化：参见梯度消失和梯度爆炸的那一个视频，参数名为：initialization="he"，核心代码为：

parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(2 / layers_dims[l - 1])
1

首先看看我们的模型是怎么样的：

def model(X, Y, learning_rate=0.01, num_iterations=15000, print_cost=True, initialization="he", is_plot=True):
    """
    实现一个三层的神经网络：LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
    
    参数：
        X - 输入的数据，维度为(2, 要训练/测试的数量)
        Y - 标签，【0 | 1】，维度为(1，对应的是输入的数据的标签)
        learning_rate - 学习速率
        num_iterations - 迭代的次数
        print_cost - 是否打印成本值，每迭代1000次打印一次
        initialization - 字符串类型，初始化的类型【"zeros" | "random" | "he"】
        is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图
    返回
        parameters - 学习后的参数
    """
    grads = {}
    costs = []
    m = X.shape[1]
    layers_dims = [X.shape[0], 10, 5, 1]
    
    # 选择初始化参数的类型
    if initialization == "zeros":
        parameters = initialize_parameters_zeros(layers_dims)
    elif initialization == "random":
        parameters = initialize_parameters_random(layers_dims)
    elif initialization == "he":
        parameters = initialize_parameters_he(layers_dims)
    else:
        print("错误的初始化参数！程序退出")
        exit
        
    # 开始学习
    for i in range(0, num_iterations):
        # 前向传播
        a3, cache = init_utils.forward_propagation(X, parameters)
        
        # 计算成本
        cost = init_utils.compute_loss(a3, Y)
        
        # 反向传播
        grads = init_utils.backward_propagation(X, Y, cache)
        
        # 更新参数
        parameters = init_utils.update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
        
        # 记录成本
        if i % 1000 == 0:
            costs.append(cost)
            # 打印成本
            if print_cost:
                print("第 " + str(i) + " 次迭代，成本值为：" + str(cost))
                
    # 学习完毕，绘制成本曲线
    if is_plot:
        plt.plot(costs)
        plt.ylabel('cost')
        plt.xlabel('iterations (per hundreds)')
        plt.title("Learning rate = " + str(learning_rate))
        plt.show()
        
    # 返回学习完毕后的参数
    return parameters
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1. 初始化为 0

def initialize_parameters_zeros(layers_dims):
    """
    将模型的参数全部设置为0
    
    参数：
        layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
    返回
        parameters - 包含了所有W和b的字典
            W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
            b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
            ···
            WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
            bL - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
    """
    parameters = {}
    
    L = len(layers_dims)   # 网络层数 + 1
    
    for l in range(1, L):
        parameters["W" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))
        parameters["b" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
        
        # 使用断言确保我的数据格式是正确的
        assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))
        assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l], 1))
        
    return parameters
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测试一下上述代码：

parameters = initialize_parameters_zeros([3, 2, 1])
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
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测试结果如下：

W1 = [[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]
b1 = [[0.]
 [0.]]
W2 = [[0. 0.]]
b2 = [[0.]]
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用上述参数来训练模型：

parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "zeros", is_plot=True)
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从上图中我们可以看到损失值一直没有变化，也就是说这个模型根本没有学习。我们来看看预测结果怎么样：

print("训练集：")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)    # Accuracy: 0.5
print("测试集：")
predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)       # Accuracy: 0.5
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从准确率的结果来看性能确实很差，而且损失值并没有降低，算法的准确率和随机猜测一样。让我们看看预测和决策边界的细节：

print("predictions_train = " + str(predictions_train))
print("predictions_test = " + str(predictions_test))

plt.title("Model with Zeros initialization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-1.5, 1.5])
axes.set_ylim([-1.5, 1.5])
init_utils.plot_decision_boundary(lambda x: init_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
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根据分类结果可知，该模型预测每个都为 0，通常来说，初始化为 0 都会导致神经网络无法打破对称性，最终导致的结果就是无论网络有多少层，最终只能得到和 Logistic 函数相同的效果。

1.2 随机初始化

为了打破对称性，我们可以随机地把参数赋值。在随机初始化之后，每个神经元可以开始学习其输入的不同功能，我们还会设置比较大的参数值，看看会发生什么。

def initialize_parameters_random(layers_dims):
    """
    参数：
        layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
    返回
        parameters - 包含了所有W和b的字典
            W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
            b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
            ···
            WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
            b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
    """
    np.random.seed(3)        # 设置随机种子
    parameters = {}
    L = len(layers_dims)
    
    for l in range(1, L):
        parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * 10  # 使用10倍缩放
        parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
        
        # 使用断言确保我的数据格式是正确的
        assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
        assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))

    return parameters
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测试：

parameters = initialize_parameters_random([3, 2, 1])
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
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测试结果如下：

W1 = [[ 17.88628473   4.36509851   0.96497468]
 [-18.63492703  -2.77388203  -3.54758979]]
b1 = [[0.]
 [0.]]
W2 = [[-0.82741481 -6.27000677]]
b2 = [[0.]]
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看起来这些参数的值都比较大，我们来看看实际运行会怎样：

parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "random",is_plot=True)
print("训练集：")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("测试集：")
predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)

print(predictions_train)
print(predictions_test)
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绘制分类结果的图片：

plt.title("Model with large random initialization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-1.5, 1.5])
axes.set_ylim([-1.5, 1.5])
init_utils.plot_decision_boundary(lambda x: init_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
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我们可以看到刚开始误差很高，这是由于具有较大的随机权重，最后一个激活（sigmoid）输出的结果非常接近于 0 或 1，而当它出现错误时，它会导致非常高的损失。如果初始化的参数不好，则会导致梯度消失、爆炸，这也会减慢优化算法。如果我们对这个网络进行更长时间的训练，我们将看到更好的结果i，但是使用过大的随机数初始化会减慢优化的速度。

1.3 抑梯度异常初始化

def initialize_parameters_he(layers_dims):
    """
    参数：
        layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
    返回
        parameters - 包含了所有W和b的字典
            W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
            b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
            ···
            WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
            bL - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
    """
    np.random.seed(3)
    parameters = {}
    L = len(layers_dims)
    
    for l in range(1, L):
        parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(2 / layers_dims[l - 1])
        parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
        
        #使用断言确保我的数据格式是正确的
        assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
        assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))
        
    return parameters
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测试：

parameters = initialize_parameters_he([2, 4, 1])
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
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测试结果如下：

W1 = [[ 1.78862847  0.43650985]
 [ 0.09649747 -1.8634927 ]
 [-0.2773882  -0.35475898]
 [-0.08274148 -0.62700068]]
b1 = [[0.]
 [0.]
 [0.]
 [0.]]
W2 = [[-0.03098412 -0.33744411 -0.92904268  0.62552248]]
b2 = [[0.]]
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这样我们就基本把参数 W 初始化到了 1 附近，我们来实际运行一下看看：

parameters = model(train_X, train_Y, initialization="he", is_plot=True)
print("训练集：")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("测试集:")
init_utils.predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
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我们可以看到误差越来越小，绘制预测结果：

plt.title("Model with He initialization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-1.5, 1.5])
axes.set_ylim([-1.5, 1.5])
init_utils.plot_decision_boundary(lambda x: init_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
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此时，初始化的模型将蓝色和红色的点在少量的迭代中很好地分离出来，总结一下：
  ① 不同的初始化方法可能导致性能最终不同
  ② 随机初始化有助于打破对称，使得不同隐藏层的单元可以学到不同的参数
  ③ 初始化时，初始值不宜过大
  ④ He 初始化搭配 ReLU 激活函数常常可以得到不错的结果

---

二、正则化

问题描述：假设你现在是一个 AI 专家，你需要设计一个模型，可以用于推荐在足球场中守门员将球发至哪个位置可以让本队的球员抢到球的概率更大。这实际上就是一个二分类，一半是己方抢到球，一半是对方抢到球，我们来看一下这个图：

读取并绘制数据集
这里需要将 reg_utils.load_2D_dataset() 中的文件路径修改为自己的数据集所在路径。

train_X, train_Y, test_X, test_Y = reg_utils.load_2D_dataset(is_plot=True)
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每一个点代表球落下的位置，蓝色代表己方的球员会抢到球，红色代表对手的球员会抢到球，我们要做的就是使用模型来画出一条线，来找到适合我方球员抢到球的位置。

我们要做一下三件事，来对比出不同的模型的优劣：
  1. 不使用正则化
  2. 使用正则化
    2.1 使用 L2 正则化
     2.2 使用随机节点删除

我们来看一下我们的模型：

• 正则化：将 lambd 设为非零值
• 随即删除节点：将 keep_prob 设置为小于 1 的值

def model(X, Y, learning_rate=0.3, num_iterations=30000, print_cost=True, is_plot=True, lambd=0, keep_prob=1):
    """
    实现一个三层的神经网络：LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
    
    参数：
        X - 输入的数据，维度为(2, 要训练/测试的数量)
        Y - 标签，【0(蓝色) | 1(红色)】，维度为(1，对应的是输入的数据的标签)
        learning_rate - 学习速率
        num_iterations - 迭代的次数
        print_cost - 是否打印成本值，每迭代10000次打印一次，但是每1000次记录一个成本值
        is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图
        lambd - 正则化的超参数，实数
        keep_prob - 随机删除节点的概率
    返回
        parameters - 学习后的参数
    """
    grads = {}
    costs = []
    m = X.shape[1]
    layers_dims = [X.shape[0], 20, 3, 1]
    
    # 初始化参数
    parameters = reg_utils.initialize_parameters(layers_dims)
    
    # 开始学习
    for i in range(0, num_iterations):
        # 前向传播
        ## 是否随机删除节点
        if keep_prob == 1:
            ### 不随机删除节点
            a3, cache = reg_utils.forward_propagation(X, parameters)
        elif keep_prob < 1:
            ### 随机删除节点
            a3, cache = forward_propagation_with_dropout(X, parameters, keep_prob)
        else:
            print("keep_prob 参数错误！程序退出。")
            exit
        # 计算成本
        ## 是否使用二范数
        if lambd == 0:
            ### 不使用 L2 正则化
            cost = reg_utils.compute_cost(a3, Y)
        else:
            ###使用L2正则化
            cost = compute_cost_with_regularization(a3,Y,parameters,lambd)
        
        #反向传播
        ##可以同时使用L2正则化和随机删除节点，但是本次实验不同时使用。
        assert(lambd == 0  or keep_prob ==1)
        
        ##两个参数的使用情况
        if (lambd == 0 and keep_prob == 1):
            ### 不使用L2正则化和不使用随机删除节点
            grads = reg_utils.backward_propagation(X,Y,cache)
        elif lambd != 0:
            ### 使用L2正则化，不使用随机删除节点
            grads = backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd)
        elif keep_prob < 1:
            ### 使用随机删除节点，不使用L2正则化
            grads = backward_propagation_with_dropout(X, Y, cache, keep_prob)
        
        #更新参数
        parameters = reg_utils.update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
        
        #记录并打印成本
        if i % 1000 == 0:
            ## 记录成本
            costs.append(cost)
            if (print_cost and i % 10000 == 0):
                #打印成本
                print("第" + str(i) + "次迭代，成本值为：" + str(cost))
        
    #是否绘制成本曲线图
    if is_plot:
        plt.plot(costs)
        plt.ylabel('cost')
        plt.xlabel('iterations (x1,000)')
        plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
        plt.show()
    
    #返回学习后的参数
    return parameters
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1. 不使用正则化

查看运行结果：

parameters = model(train_X, train_Y, is_plot=True)
print("训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)    # Accuracy: 0.947867298578
print("测试集:")
predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)       # Accuracy: 0.915
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绘制分割曲线：

plt.title("Model without regularization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-0.75,0.40])
axes.set_ylim([-0.75,0.65])
reg_utils.plot_decision_boundary(lambda x: reg_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
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从图中可以看出，在不使用正则化时，分割曲线有了明显的过拟合特性。

2. 使用正则化

2.1 使用 L2 正则化

避免过度拟合的标准方法称为 L2 正则化，它就是在原来的成本函数上加一个正则化项，以此来减弱权值的影响力。

其中计算 ${\sum }_k{\sum }_j{W}_{kj}^{[l]2}$ 的代码为：

np.sum(np.square(Wl))
1

需要注意的是，在前向传播中我们对 $W^{[1]}$，$W^{[2]}$ 和 $W^{[3]}$ 这三个项进行操作，将这三个项相加并乘以 $\frac{1}{m}\frac{\lambda }{2}$。在反向传播中，使用 $\frac{d}{dW}(\frac{1}{2}\frac{\lambda }{m}{W}^2)=\frac{\lambda }{m}W$ 计算梯度。

def compute_cost_with_regularization(A3, Y, parameters, lambd):
    """
    实现L2正则化计算成本
    
    参数：
        A3 - 正向传播的输出结果，维度为（输出节点数量，训练/测试的数量）
        Y - 标签向量，与数据一一对应，维度为(输出节点数量，训练/测试的数量)
        parameters - 包含模型学习后的参数的字典
    返回：
        cost - 使用公式2计算出来的正则化损失的值
    
    """
    m = Y.shape[1]
    W1 = parameters["W1"]
    W2 = parameters["W2"]
    W3 = parameters["W3"]
    
    cross_entropy_cost = reg_utils.compute_cost(A3,Y)
    
    L2_regularization_cost = lambd * (np.sum(np.square(W1)) + np.sum(np.square(W2))  + np.sum(np.square(W3))) / (2 * m)
    
    cost = cross_entropy_cost + L2_regularization_cost
    
    return cost

# 因为改变了成本函数，所以也必须修改后向传播函数
def backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd):
    """
    实现我们添加了L2正则化的模型的后向传播。
    
    参数：
        X - 输入数据集，维度为（输入节点数量，数据集里面的数量）
        Y - 标签，维度为（输出节点数量，数据集里面的数量）
        cache - 来自forward_propagation（）的cache输出
        lambda - regularization超参数，实数
    
    返回：
        gradients - 一个包含了每个参数、激活值和预激活值变量的梯度的字典
    """
    m = X.shape[1]
    (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
    
    dZ3 = A3 - Y
    
    dW3 = (1 / m) * np.dot(dZ3, A2.T) + ((lambd * W3) / m)
    db3 = (1 / m) * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)
    
    dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
    dW2 = (1 / m) * np.dot(dZ2,A1.T) + ((lambd * W2) / m)
    db2 = (1 / m) * np.sum(dZ2,axis=1,keepdims=True)
    
    dA1 = np.dot(W2.T,dZ2)
    dZ1 = np.multiply(dA1,np.int64(A1 > 0))
    dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1,X.T) + ((lambd * W1) / m)
    db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1,axis=1,keepdims=True)
    
    gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3, "dA2": dA2,
                 "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1, 
                 "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
    
    return gradients
1
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训练：

parameters = model(train_X, train_Y, lambd=0.7,is_plot=True)
print("使用正则化，训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("使用正则化，测试集:")
predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
1
2
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4
5

训练结果：

第0次迭代，成本值为：0.6974484493131264
第10000次迭代，成本值为：0.2684918873282239
第20000次迭代，成本值为：0.2680916337127301

使用正则化，训练集:
Accuracy: 0.9383886255924171
使用正则化，测试集:
Accuracy: 0.93
1
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8

绘制分类结果图：

plt.title("Model with L2-regularization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-0.75,0.40])
axes.set_ylim([-0.75,0.65])
reg_utils.plot_decision_boundary(lambda x: reg_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
1
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5

$\lambda$ 的值是可以改变模型分类结果的超参数。L2 正则化会使决策边界更加平滑。如果 $\lambda$ 太大，也可能会使得曲线过度平滑，从而导致模型高偏差。如果使用 L2 regularization，当 $\lambda$ 很大时，$w^{[l]}\approx 0$。$w^{[l]}$ 近似为零，意味着该神经网络模型中的某些神经元实际的作用很小，可以忽略。从效果上来看，其实是将某些神经元给忽略掉了。这样原本过于复杂的神经网络模型就变得不那么复杂了，而变得非常简单化了。L2 regularization 对以下内容有影响：

• 成本计算：正则化的计算需要添加到成本函数中
• 反向传播：在权重矩阵方面，梯度计算时也要依据正则化来做出相应的计算
• 权重衰减：权重被逐渐改变到较小的值

2.2 随机丢弃节点（Dropout）

最后，我们使用 Dropout 来进行正则化，Dropout 的原理就是每次迭代过程中随机使其中的一些节点失效。当我们关闭一些节点时，我们实际上修改了我们的模型。其思想是：每次迭代所使用的模型都不同。随着迭代次数的增加，我们的模型的节点会对其他特定节点的激活变得不那么敏感，因为其他节点可能会失效。
在每一次迭代中，关闭（设置为零）一层的神经元，概率为 1 - keep_prob，我们在这里保持概率为 keep_prob（这里为 50%）。丢弃的节点都不参与迭代时的前向和后向传播。

为了对第一层和第三层实现 dropout，我们需要做以下四步：

1. 使用 np.random.rand() 来初始化 $A^{[1]}$ 和 $D^{[1]}$
2. 如果 $D_i^{[1]}$ 低于 keep_prob 的值，那么我们就将它设置为 0，否则设置为 1
3. 将 $A^{[1]}$ 更新为 $A^{[1]}\ast D^{[1]}$，我们做矩阵相乘的时候，关闭的那些节点（值为0）就不会参与计算，因为 0 乘以任何值都为 0。
4. 使用 $A^{[1]}$ 除以 keep_prob。这样我们通过缩放在计算成本时仍然具有相同的期望值，这叫做 反向dropout。

def forward_propagation_with_dropout(X, parameters, keep_prob=0.5):
    """
    实现具有随机舍弃节点的前向传播。
    LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> SIGMOID.
    
    参数：
        X  - 输入数据集，维度为（2，示例数）
        parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：
            W1  - 权重矩阵，维度为（20,2）
            b1  - 偏向量，维度为（20,1）
            W2  - 权重矩阵，维度为（3,20）
            b2  - 偏向量，维度为（3,1）
            W3  - 权重矩阵，维度为（1,3）
            b3  - 偏向量，维度为（1,1）
        keep_prob  - 随机删除的概率，实数
    返回：
        A3  - 最后的激活值，维度为（1,1），正向传播的输出
        cache - 存储了一些用于计算反向传播的数值的元组
    """
    np.random.seed(1)
    
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    W3 = parameters["W3"]
    b3 = parameters["b3"]
    
    # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = reg_utils.relu(Z1)
    
    # 下面的步骤1-4对应于上述的步骤1-4
    ## 1.初始化矩阵 D1 = np.random.rand(..., ...)
    D1 = np.random.rand(A1.shape[0], A1.shape[1])
    ## 2.将 D1 的值转换为 0 或 1（使用 keep_prob 作为阈值）
    D1 = D1 < keep_prob
    ## 3.舍弃 A1 的一些节点（将它的值变为 0 或 False）
    A1 = A1 * D1
    ## 4.缩放未舍弃的节点（不为0）的值
    A1 = A1 / keep_prob
    
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    A2 = reg_utils.relu(Z2)
    
    # 下面的步骤1-4对应于上述的步骤1-4
    ## 1.初始化矩阵 D2 = np.random.rand(..., ...)
    D2 = np.random.rand(A2.shape[0], A2.shape[1])
    ## 2.将 D2 的值转换为 0 或 1（使用 keep_prob 作为阈值）
    D2 = D2 < keep_prob
    ## 3.舍弃 A2 的一些节点（将它的值变为 0 或 False）
    A2 = A2 * D2
    ## 4.缩放未舍弃的节点（不为0）的值
    A2 = A2 / keep_prob
    
    Z3 = np.dot(W3, A2) + b3
    A3 = reg_utils.relu(Z3)
    
    cache = (Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)
    
    return A3, cache
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改变了前向传播算法，我们也需要改变后向传播算法，使用存储在缓存中的掩码 $D^{[1]}$ 和 $D^{[2]}$ 将舍弃的节点位置信息添加到第一个和第二个隐藏层。

def backward_propagation_with_dropout(X,Y,cache,keep_prob):
    """
    实现我们随机删除的模型的后向传播。
    参数：
        X  - 输入数据集，维度为（2，示例数）
        Y  - 标签，维度为（输出节点数量，示例数量）
        cache - 来自forward_propagation_with_dropout（）的cache输出
        keep_prob  - 随机删除的概率，实数
    
    返回：
        gradients - 一个关于每个参数、激活值和预激活变量的梯度值的字典
    """
    m = X.shape[1]
    (Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
    
    dZ3 = A3 - Y
    dW3 = (1 / m) * np.dot(dZ3,A2.T)
    db3 = 1. / m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)
    dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
    
    dA2 = dA2 * D2          # 步骤1：使用正向传播期间相同的节点，舍弃那些关闭的节点（因为任何数乘以0或者False都为0或者False）
    dA2 = dA2 / keep_prob   # 步骤2：缩放未舍弃的节点(不为0)的值
    
    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
    dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T)
    db2 = 1. / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
    
    dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
    
    dA1 = dA1 * D1          # 步骤1：使用正向传播期间相同的节点，舍弃那些关闭的节点（因为任何数乘以0或者False都为0或者False）
    dA1 = dA1 / keep_prob   # 步骤2：缩放未舍弃的节点(不为0)的值

    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
    dW1 = 1. / m * np.dot(dZ1, X.T)
    db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
    
    gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,"dA2": dA2,
                 "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1, 
                 "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
    
    return gradients
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我们前向和后向传播的函数都写好了，现在用 dropout 运行模型（keep_prob=0.87）跑一波。这意味着在每次迭代中，程序都以 23% 的概率关闭第一层和第三层的每个神经元。

parameters = model(train_X, train_Y, keep_prob=0.87, learning_rate=0.3,is_plot=True)

print("使用随机删除节点，训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("使用随机删除节点，测试集:")
reg_utils.predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
1
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6

运行结果如下：

第0次迭代，成本值为：inf
第10000次迭代，成本值为：0.13163182049797192
第20000次迭代，成本值为：0.09166913411862126

使用随机删除节点，训练集:
Accuracy: 0.8720379146919431
使用随机删除节点，测试集:
Accuracy: 0.905
1
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8

绘制分类结果：

plt.title("Model with dropout")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-0.75, 0.40])
axes.set_ylim([-0.75, 0.65])
reg_utils.plot_decision_boundary(lambda x: reg_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
1
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3
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5

我们可以看到，dropout 会把训练集的准确度降低，但是会提高测试集的准确度。

三、梯度校验

  假设你现在是一个全球移动支付团队中的一员，现在需要建立一个深度学习模型去判断用户账户在进行付款的时候是否是被黑客入侵的。
  但是，在我们执行反向传播的计算过程中，反向传播函数的计算过程是比较复杂的。为了验证我们得到的反向传播函数是否正确，现在你需要编写一些代码来验证反向传播函数的正确性。
  反向传播计算梯度 $\frac{\partial J}{\partial \theta }$，其中 $\theta$ 表示模型中的参数，使用前向传播和损失函数公式来计算 $J$，因为前向传播相对容易实现，所以你确信自己得到了正确的结果，所以您几乎 100％ 确定您正确计算了 $J$ 的成本。因此，你可以使用 $J$ 来验证计算的 $\frac{\partial J}{\partial \theta }$ 的准确度。
  让我们回头看一下导数（或梯度）的定义：$$\frac{\partial J}{\partial \theta }=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{J(\theta +ϵ)-J(\theta -ϵ)}{2ϵ}$$

• $\frac{\partial J}{\partial \theta }$是你想确保你要计算正确的值
• 你可以计算 $J(\theta +ϵ)$ 和 $J(\theta -ϵ)$（在 $\theta$ 是一个实数的情况下），因为你确信你对 $J$ 的实现是正确的

1. 一维线性函数

我们先来看一下一维线性模型的梯度检查计算过程：

前向传播函数：

def forward_propagation(x,theta):
    """
    
    实现图中呈现的线性前向传播（计算J）（J（theta）= theta * x）
    
    参数：
    x  - 一个实值输入
    theta  - 参数，也是一个实数
    
    返回：
    J  - 函数J的值，用公式J（theta）= theta * x计算
    """
    J = np.dot(theta,x)
    
    return J
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测试一下：

print("-----------------测试forward_propagation-----------------")
x, theta = 2, 4
J = forward_propagation(x, theta)
print ("J = " + str(J))     # J = 8
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一维线性函数的反向传播函数：

def backward_propagation(x,theta):
    """
    计算J相对于θ的导数。
    
    参数：
        x  - 一个实值输入
        theta  - 参数，也是一个实数
    
    返回：
        dtheta  - 相对于θ的成本梯度
    """
    dtheta = x
    
    return dtheta
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测试：

print("-----------------测试backward_propagation-----------------")
x, theta = 2, 4
dtheta = backward_propagation(x, theta)
print ("dtheta = " + str(dtheta))         # dtheta = 2
1
2
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4

梯度检查的步骤如下：

1. ${\theta }^{+}=\theta +ϵ$
2. ${\theta }^{-}=\theta -ϵ$
3. $J^{+}=J({\theta }^{+})$
4. $J^{-}=J({\theta }^{-})$
5. 计算梯度的反向传播值，最后计算误差：$$difference=\frac{||grad-gradapprox|{|}_2}{||grad|{|}_2+||gradapprox|{|}_2}$$
   当 $difference<10^{-7}$ 时，我们通常认为我们计算的结果是正确的。

综上所述，我们可以写出梯度检查函数：

def gradient_check(x,theta,epsilon=1e-7):
    """
    
    实现图中的反向传播。
    
    参数：
        x  - 一个实值输入
        theta  - 参数，也是一个实数
        epsilon  - 使用公式（3）计算输入的微小偏移以计算近似梯度
    
    返回：
        近似梯度和后向传播梯度之间的差异
    """
    
    #使用公式（3）的左侧计算gradapprox。
    thetaplus = theta + epsilon                               # Step 1
    thetaminus = theta - epsilon                              # Step 2
    J_plus = forward_propagation(x, thetaplus)                # Step 3
    J_minus = forward_propagation(x, thetaminus)              # Step 4
    gradapprox = (J_plus - J_minus) / (2 * epsilon)           # Step 5
    
    
    #检查gradapprox是否足够接近backward_propagation（）的输出
    grad = backward_propagation(x, theta)
    
    numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox)                      # Step 1'
    denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox)    # Step 2'
    difference = numerator / denominator                               # Step 3'
    
    if difference < 1e-7:
        print("梯度检查：梯度正常!")
    else:
        print("梯度检查：梯度超出阈值!")
    
    return difference
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35

测试一下：

print("-----------------测试gradient_check-----------------")
x, theta = 2, 4
difference = gradient_check(x, theta)
print("difference = " + str(difference))
1
2
3
4

测试结果：

-----------------测试gradient_check-----------------
梯度检查：梯度正常!
difference = 2.91933588329e-10
1
2
3

2. 高维

前向传播函数：

def forward_propagation_n(X,Y,parameters):
    """
    实现图中的前向传播（并计算成本）。
    
    参数：
        X - 训练集为m个例子
        Y -  m个示例的标签
        parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：
            W1  - 权重矩阵，维度为（5,4）
            b1  - 偏向量，维度为（5,1）
            W2  - 权重矩阵，维度为（3,5）
            b2  - 偏向量，维度为（3,1）
            W3  - 权重矩阵，维度为（1,3）
            b3  - 偏向量，维度为（1,1）
   
    返回：
        cost - 成本函数（logistic）
    """
    m = X.shape[1]
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    W3 = parameters["W3"]
    b3 = parameters["b3"]
    
    # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
    Z1 = np.dot(W1,X) + b1
    A1 = gc_utils.relu(Z1)
    
    Z2 = np.dot(W2,A1) + b2
    A2 = gc_utils.relu(Z2)
    
    Z3 = np.dot(W3,A2) + b3
    A3 = gc_utils.sigmoid(Z3)
    
    #计算成本
    logprobs = np.multiply(-np.log(A3), Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y)
    cost = (1 / m) * np.sum(logprobs)
    
    cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)

    return cost, cache
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反向传播函数：

def backward_propagation_n(X,Y,cache):
    """
    实现图中所示的反向传播。
    
    参数：
        X - 输入数据点（输入节点数量，1）
        Y - 标签
        cache - 来自forward_propagation_n（）的cache输出
    
    返回：
        gradients - 一个字典，其中包含与每个参数、激活和激活前变量相关的成本梯度。
    """
    m = X.shape[1]
    (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
    
    dZ3 = A3 - Y
    dW3 = (1. / m) * np.dot(dZ3,A2.T)
    dW3 = 1. / m * np.dot(dZ3, A2.T)
    db3 = 1. / m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)
    
    dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
    #dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2  # Should not multiply by 2
    dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T)
    db2 = 1. / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
    
    dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
    dW1 = 1. / m * np.dot(dZ1, X.T)
    #db1 = 4. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True) # Should not multiply by 4
    db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
    
    gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,
                 "dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2,
                 "dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
 
    return gradients
1
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若想比较 $gradapprox$ 与反向传播计算的梯度。该公式仍然是：$$difference=\frac{||grad-gradapprox|{|}_2}{||grad|{|}_2+||gradapprox|{|}_2}$$
然而，$\theta$ 不再是标量。这是一个名为parameters 的字典。 我们为你实现了一个函数 dictionary_to_vector（）。 它将 parameters 字典转换为一个称为 values 的向量，通过将所有参数（W1，b1，W2，b2，W3，b3）整形为向量并将它们连接起来而获得。其反函数是 vector_to_dictionary，它返回 parameters 字典。

梯度检验的伪代码：

def gradient_check_n(parameters,gradients,X,Y,epsilon=1e-7):
    """
    检查backward_propagation_n是否正确计算forward_propagation_n输出的成本梯度
    
    参数：
        parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：
        grad_output_propagation_n的输出包含与参数相关的成本梯度。
        x  - 输入数据点，维度为（输入节点数量，1）
        y  - 标签
        epsilon  - 计算输入的微小偏移以计算近似梯度
    
    返回：
        difference - 近似梯度和后向传播梯度之间的差异
    """
    #初始化参数
    parameters_values , keys = gc_utils.dictionary_to_vector(parameters) #keys用不到
    grad = gc_utils.gradients_to_vector(gradients)
    num_parameters = parameters_values.shape[0]
    J_plus = np.zeros((num_parameters,1))
    J_minus = np.zeros((num_parameters,1))
    gradapprox = np.zeros((num_parameters,1))
    
    #计算gradapprox
    for i in range(num_parameters):
        #计算J_plus [i]。输入：“parameters_values，epsilon”。输出=“J_plus [i]”
        thetaplus = np.copy(parameters_values)                                                  # Step 1
        thetaplus[i][0] = thetaplus[i][0] + epsilon                                             # Step 2
        J_plus[i], cache = forward_propagation_n(X,Y,gc_utils.vector_to_dictionary(thetaplus))  # Step 3 ，cache用不到
        
        #计算J_minus [i]。输入：“parameters_values，epsilon”。输出=“J_minus [i]”。
        thetaminus = np.copy(parameters_values)                                                 # Step 1
        thetaminus[i][0] = thetaminus[i][0] - epsilon                                           # Step 2        
        J_minus[i], cache = forward_propagation_n(X,Y,gc_utils.vector_to_dictionary(thetaminus))# Step 3 ，cache用不到
        
        #计算gradapprox[i]
        gradapprox[i] = (J_plus[i] - J_minus[i]) / (2 * epsilon)
        
    #通过计算差异比较gradapprox和后向传播梯度。
    numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox)                                     # Step 1'
    denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox)                   # Step 2'
    difference = numerator / denominator                                              # Step 3'
    
    if difference < 1e-7:
        print("梯度检查：梯度正常!")
    else:
        print("梯度检查：梯度超出阈值!")
    
    return difference
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测试一下：

X, Y, parameters = gradient_check_n_test_case()

cost, cache = forward_propagation_n(X, Y, parameters)
gradients = backward_propagation_n(X, Y, cache)
difference = gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y)
print(difference)
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6

测试结果如下：

梯度检查：梯度超出阈值!
1.189041787877932e-07
1
2