【背包九讲——混合背包问题】

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4.1 模板题

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混合背包问题

原题链接

描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 −1≤si≤1000

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
1
2
3
4
5

输出样例：

输出样例：

8
1

思想

• 本质为多重背包问题
• 将只能使用一次的视为一个物品的捆绑
• 使用多次的用二进制优化捆绑
• 使用无限次的按照背包的最大空间调整使用次数，再用二进制优化捆绑

代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e7 + 3;

int dp[N];

int v[N], w[N];

void solve(){
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    int cnt = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        
        if(s == -1) s = 1;
        else if(s == 0) s = m / a;
        
        int k = 1;
        while(k < s){
            cnt ++;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            s -= k;
            k <<= 1;
        }
        if(s){
            cnt ++;
            v[cnt] = s * a;
            w[cnt] = s * b;
        }
        
    }
    
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++){
        for(int j = m; j >= v[i]; j --){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << dp[m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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