单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵
初等矩阵
P
P
P左乘矩阵
A
A
A，其乘积
P
A
PA
PA就是矩阵
A
A
A作一次与
P
P
P同样的行变换
初等矩阵
P
P
P右乘矩阵
A
A
A，其乘积
A
P
AP
AP就是矩阵
A
A
A作一次与
P
P
P同样的列变换
(
1
0
0
2
1
0
0
0
1
)
(
1
0
0
−
2
1
0
0
0
1
)
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
初等矩阵若为倍加矩阵，则其逆矩阵为将其倍加的元改为其相反数，例如
(
1
0
0
2
1
0
0
0
1
)
−
1
=
(
1
0
0
−
2
1
0
0
0
1
)
(
0
1
0
1
0
0
0
0
1
)
(
0
1
0
1
0
0
0
0
1
)
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
初等矩阵若为互换矩阵，则其逆矩阵为本身，例如
(
0
1
0
1
0
0
0
0
1
)
−
1
=
(
0
1
0
1
0
0
0
0
1
)
(
1
0
0
0
5
0
0
0
1
)
(
1
0
0
0
1
5
0
0
0
1
)
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
初等矩阵若为倍乘矩阵，则其逆矩阵为倍乘的元的倒数，例如
(
1
0
0
0
5
0
0
0
1
)
−
1
=
(
1
0
0
0
1
5
0
0
0
1
)
初等矩阵均可逆，且其逆是同一类型的初等矩阵
例：已知
a
i
j
≠
0
a_{ij}\ne0
aij=0，如果
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
P
=
(
a
11
2
a
12
a
12
+
a
13
a
11
a
21
a
22
a
22
+
a
23
a
11
a
31
a
32
a
32
+
a
33
)
经过第一列乘
a
11
a_{11}
a11倍，第三列加第二列，因此
P
=
(
a
11
0
0
0
1
1
0
0
1
)
P=
例：已知 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是三阶矩阵， ∣ A ∣ = 2 |A|=2 ∣A∣=2，把矩阵 A A A的第二行的 − 5 -5 −5倍加到第三行得到矩阵 B B B，则 ( 3 B A ∗ ) − 1 = ( ) (3BA^{*})^{-1}=() (3BA∗)−1=()
由题意
B
=
P
A
B=PA
B=PA，且
P
=
(
1
0
0
0
1
0
0
−
5
1
)
P=
有
3
B
A
∗
=
3
P
A
A
∗
=
3
P
(
∣
A
∣
E
)
=
6
P
3BA^{*}=3PAA^{*}=3P(|A|E)=6P
3BA∗=3PAA∗=3P(∣A∣E)=6P
则
(
3
B
A
∗
)
−
1
=
(
6
P
)
−
1
=
1
6
P
−
1
=
1
6
(
1
0
0
0
1
0
0
5
1
)
(3BA^{*})^{-1}=(6P)^{-1}=\frac{1}{6}P^{-1}=\frac{1}{6}
设 A A A为 m × n m\times n m×n矩阵，若满足
则称 A A A为行阶梯矩阵
设 A A A为 m × n m\times n m×n矩阵，若 A A A是行阶梯矩阵，且还满足
则称 A A A为行最简矩阵
矩阵 A A A经过有限次初等变换得到矩阵 B B B就称矩阵 A A A与矩阵 B B B等价，记作 A = ∼ B A\overset{\sim}{=}B A=∼B
矩阵 A , B A,B A,B都是 m × n m\times n m×n的矩阵，则 A , B A,B A,B等价 ⇔ r ( A ) = r ( B ) \Leftrightarrow r(A)=r(B) ⇔r(A)=r(B)
设
A
A
A是
m
×
n
m\times n
m×n矩阵，则存在
m
m
m姐可逆矩阵
P
P
P和
n
n
n阶可逆矩阵
A
A
A，使
P
A
Q
=
(
E
r
O
O
O
)
PAQ=
例：已知
A
=
(
1
−
1
−
1
3
2
−
1
−
3
1
3
2
−
5
2
)
A=
A
=
(
1
−
1
−
1
3
2
−
1
−
3
1
3
2
−
5
2
)
→
(
1
−
1
−
1
3
0
1
−
1
−
5
0
5
−
2
−
7
)
→
(
1
0
−
2
−
2
0
1
−
1
−
5
0
0
3
18
)
从左到右各列上下同时开工
→
(
1
0
−
2
−
2
0
1
−
1
−
5
0
0
1
6
)
如果第一个非零元不是
1
，先化成
1
→
(
1
0
0
10
0
1
0
1
0
0
1
6
)
对于已知
P
A
=
B
,
A
,
B
PA=B,A,B
PA=B,A,B，求
P
P
P的题
已知
A
⟶
行变换
B
A\overset{行变换}{\longrightarrow}B
A⟶行变换B
即存在
P
τ
⋯
P
2
P
1
A
=
B
P_{\tau}\cdots P_{2}P_{1}A=B
Pτ⋯P2P1A=B
记
P
=
P
τ
⋯
P
2
P
1
P=P_{\tau}\cdots P_{2}P_{1}
P=Pτ⋯P2P1
P
τ
⋯
P
2
P
1
E
=
P
P_{\tau}\cdots P_{2}P_{1}E=P
Pτ⋯P2P1E=P
即
A
→
B
A\rightarrow B
A→B同时
E
→
P
E\rightarrow P
E→P
(
A
,
E
)
⟶
行变换
(
B
,
P
)
(A,E)\overset{行变换}{\longrightarrow}(B,P)
(A,E)⟶行变换(B,P)
对于上一道例题，要求使得 A A A变为行最简的 P P P
(
A
∣
E
)
=
(
1
−
1
−
1
3
1
2
−
1
−
3
1
1
3
2
−
5
2
1
)
→
(
1
−
1
−
1
3
1
0
1
−
1
−
5
−
2
1
0
5
−
2
−
7
−
3
1
)
→
(
1
−
1
−
1
3
1
0
1
−
1
−
5
−
2
1
0
0
3
18
7
−
5
1
)
→
(
1
0
−
2
−
2
−
1
1
1
−
1
−
5
−
2
1
1
6
7
3
−
5
3
1
3
)
→
(
1
0
0
10
11
3
−
7
3
2
3
0
1
0
1
1
3
−
2
3
1
3
0
0
1
6
7
3
−
5
3
1
3
)
分四块（ A B , A n , A − 1 AB,A^{n},A^{-1} AB,An,A−1），列分块、行分块（方程组的解，向量，阶）
对矩阵适当的分块处理，有以下的运算法则
(
A
1
A
2
A
3
A
4
)
+
(
B
1
B
2
B
3
B
4
)
=
(
A
1
+
B
1
A
2
+
B
2
A
3
+
B
3
A
4
+
B
4
)
(
A
B
C
D
)
(
X
Y
Z
W
)
=
(
A
X
+
B
Z
A
Y
+
B
W
C
X
+
D
Z
C
Y
+
D
W
)
(
A
B
C
D
)
T
=
(
A
T
C
T
B
T
D
T
)
如果
B
,
C
B,C
B,C都是方阵
(
B
O
O
C
)
n
=
(
B
n
O
O
C
n
)
如果
B
,
C
B,C
B,C是可逆方阵
(
B
O
O
C
)
−
1
=
(
B
−
1
O
O
C
−
1
)
,
(
O
B
C
O
)
−
1
=
(
O
C
−
1
B
−
1
O
)
若
A
B
=
C
AB=C
AB=C
(
γ
1
γ
2
γ
3
)
(
b
11
b
12
b
13
b
21
b
22
b
23
b
31
b
32
b
33
)
=
(
δ
1
δ
2
δ
3
)
对应行列式
{
b
11
γ
1
+
b
21
γ
2
+
b
31
γ
3
=
δ
1
b
12
γ
1
+
b
22
γ
2
+
b
32
γ
3
=
δ
2
b
13
γ
1
+
b
23
γ
2
+
b
33
γ
3
=
δ
3
即
C
=
A
B
C=AB
C=AB的列向量可由
A
A
A的列向量线性表出
同理
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
(
α
1
α
2
α
3
)
=
(
β
1
β
2
β
3
)
对应行列式
{
a
11
α
1
+
a
12
α
2
+
a
13
α
3
=
β
1
a
21
α
1
+
a
22
α
2
+
a
23
α
3
=
β
2
a
31
α
1
+
a
32
α
2
+
a
33
α
3
=
β
3
即
C
=
A
B
C=AB
C=AB的行向量可由
B
B
B的行向量线性表出
如果
A
A
A可逆，
A
B
=
C
→
A
−
1
C
=
B
AB=C\rightarrow A^{-1}C=B
AB=C→A−1C=B
B
B
B的行向量可由
C
C
C的行向量线性表出
如果
B
B
B可逆，
A
B
=
C
→
C
B
−
1
=
A
AB=C\rightarrow CB^{-1}=A
AB=C→CB−1=A
A
A
A的列向量可由
C
C
C的列向量线性表出
如果
A
B
=
C
AB=C
AB=C
A
(
β
1
β
2
β
3
)
=
(
γ
1
γ
2
γ
3
)
(
A
β
1
A
β
2
A
β
3
)
=
(
γ
1
γ
2
γ
3
)
有
A
β
1
=
γ
1
,
A
β
2
=
γ
2
,
A
β
3
=
γ
3
A \beta_{1}=\gamma_{1},A \beta_{2}=\gamma_{2},A \beta_{3}=\gamma_{3}
Aβ1=γ1,Aβ2=γ2,Aβ3=γ3
可知
β
1
\beta_{1}
β1是方程组
A
x
=
γ
1
Ax=\gamma_{1}
Ax=γ1的解
β
2
\beta_{2}
β2是方程组
A
x
=
γ
2
Ax=\gamma_{2}
Ax=γ2的解
β
3
\beta_{3}
β3是方程组
A
x
=
γ
3
Ax=\gamma_{3}
Ax=γ3的解
如果
A
B
=
O
AB=O
AB=O
A
(
β
1
β
2
β
3
)
=
(
O
O
O
a
)
A
可知
β
1
,
β
2
,
β
3
\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}
β1,β2,β3是
A
x
=
O
Ax=O
Ax=O的解
例：已知
X
=
A
B
A
X=ABA
X=ABA，其中
A
=
(
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
−
1
0
1
0
0
−
1
)
,
B
=
(
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
)
A=
本题直接求也行
令
A
=
(
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
−
1
0
1
0
0
−
1
)
=
(
E
C
C
−
E
)
,
B
=
(
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
)
=
(
O
C
C
O
)
A=\left(
则
X
=
(
E
C
C
−
E
)
(
O
C
C
O
)
(
E
C
C
−
E
)
=
(
E
C
−
C
E
)
(
E
C
C
−
E
)
=
(
2
E
O
O
−
2
E
)
可得
X
=
(
2
2
−
2
−
2
)
X=
例：设
A
=
(
1
2
−
2
4
t
3
3
−
1
1
)
A=
由于
A
B
=
O
AB=O
AB=O
A
B
=
A
(
β
1
β
2
β
3
)
=
(
A
β
1
A
β
2
A
β
3
)
=
(
O
O
O
)
AB=A
可知
A
β
1
=
O
,
A
β
2
=
O
,
A
β
3
=
O
A \beta_{1}=O,A \beta_{2}=O,A \beta_{3}=O
Aβ1=O,Aβ2=O,Aβ3=O
因此，
β
1
,
β
2
,
β
3
\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}
β1,β2,β3是
A
X
=
O
AX=O
AX=O的解
又因为
B
≠
0
B\ne0
B=0，故
A
X
=
O
AX=O
AX=O存在非
0
0
0解，根据克拉默法则
∣
A
∣
=
∣
1
2
−
2
4
t
3
3
−
1
1
∣
=
5
(
t
+
3
)
=
0
|A|=
解得
t
=
−
3
t=-3
t=−3
例：计算
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
(
2
0
0
0
1
−
1
1
0
1
)
简单的矩阵乘复杂的矩阵，可以考虑复杂的进行分块，复杂的在左面进行列分块，在右面进行行分块
原式
=
(
α
1
α
2
α
3
)
(
2
0
0
0
1
−
1
1
0
1
)
=
(
2
α
1
+
α
3
α
2
−
α
2
+
α
3
)
=
(
5
2
1
14
5
1
23
8
1
)
例： A , B A,B A,B是 n n n阶矩阵， ∣ A ∣ = 2 , ∣ B ∣ = − 3 |A|=2,|B|=-3 ∣A∣=2,∣B∣=−3，则
∣
A
∗
B
−
1
−
A
−
1
B
∗
∣
=
(
)
|A^{*}B^{-1}-A^{-1}B^{*}|=()
∣A∗B−1−A−1B∗∣=()
∣
A
∗
B
−
1
−
A
−
1
B
∗
∣
=
∣
∣
A
∣
A
−
1
B
−
1
−
∣
B
∣
A
−
1
B
−
1
∣
=
∣
5
A
−
1
B
−
1
∣
=
−
5
n
6
∣
O
A
T
B
∗
2
B
∣
=
(
)
∣
O
A
T
B
∗
2
B
∣
=
(
−
1
)
n
⋅
n
∣
A
T
∣
∣
B
∗
∣
=
(
−
1
)
n
2
+
n
−
1
⋅
2
⋅
3
n
−
1
=
−
2
⋅
3
n
−
1