【线性代数基础进阶】行列式

【线性代数基础进阶】行列式
文章目录
- 一、行列式的概念
  1. 二、三阶行列式
  2. 排序、逆序、逆序数
  3. $n$ 阶行列式概念
  
  二、行列式的性质
  三、按行（列）展开公式
  1. 代数余子式
  2. 展开公式
  特殊情况
  
  四、克拉默法则
一、行列式的概念

 1. 二、三阶行列式

行列式的结果是数，是不同行不同列元素乘积的代数式

 2. 排序、逆序、逆序数

由 $1,2,\cdots,n$ 组成的有序数组称为一个 $n$ 阶排列，通常用 $j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$ 表示 $n$ 阶排列
例如：
$2,4,1,3\quad 4阶排列$
$1,3,5,4,2\quad 5阶排列$

一个排列中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用 $\tau(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})$ 表示排列 $j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$ 的逆序数

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列，否则称为奇排列
$\tau(1,3,2)=0+1$
$\tau(2,4,3,1)=1+2+1=4$
$1,2,3,\cdots,n\quad 自然排列(偶排列)$

3. $n$ 阶行列式概念

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$
=\sum\limits_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}} ∣ ∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣ ∣=j1j2⋯jn∑(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn
不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和。当 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$ 是偶排列时该项前面带正号；当 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$ 时奇排列时，该项前面带负号

$n$ 阶行列式完全展开式有 $n!$ 项

 二、行列式的性质
1. 经转置行列式值不变
  行的性质和列的性质是相同的
2. 某行有公因数 $k$ 可把 $k$ 提出
  特别的，若某行元素全为 $0$ ，则 $D = 0$
3. 两行互换行列式的值变号
  特别的，两行相同 $\Rightarrow D=0$ ；两行成比例 $\Rightarrow D=0$
4. 如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式的和
5. 把某行的 $k$ 倍加到另外一行，行列式的值不变
例：证明 $\forall a,b,c ,$
$| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} |$
=0 ∀a,b,c,∣ ∣1ab+c1bc+a1ca+b∣ ∣=0

$\begin{aligned} | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} | & = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a + b + c & a + b + c & a + b + c \end{matrix} | \\ = (a + b + c) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0 \end{aligned}$
∣ ∣1ab+c1bc+a1ca+b∣ ∣=∣ ∣1aa+b+c1ba+b+c1ca+b+c∣ ∣=(a+b+c)∣ ∣1a11b11c1∣ ∣=0

例：证明
$| \begin{matrix} b_{1} + c_{1} & c_{1} + a_{1} & a_{1} + b_{1} \\ b_{2} + c_{2} & c_{2} + a_{2} & a_{2} + b_{2} \\ b_{3} + c_{3} & c_{3} + a_{3} & a_{3} + b_{3} \end{matrix} |$
=2
$| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} |$
∣ ∣b1+c1b2+c2b3+c3c1+a1c2+a2c3+a3a1+b1a2+b2a3+b3∣ ∣=2∣ ∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣ ∣

$\begin{aligned} D & = 2 | \begin{matrix} a_{1} + b_{1} + c_{1} & c_{1} + a_{1} & a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} + c_{2} & c_{2} + a_{2} & a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} + c_{3} & c_{3} + a_{3} & a_{3} + b_{3} \end{matrix} | 该步是为了得到系数 2 \\ = 2 | \begin{matrix} a_{1} + b_{1} + c_{1} & - b_{1} & - c_{1} \\ a_{2} + b_{2} + c_{2} & - b_{2} & - c_{2} \\ a_{3} + b_{3} + c_{3} & - b_{3} & - c_{3} \end{matrix} | 得到二三列 \\ = 2 | \begin{matrix} a_{1} & - b_{1} & - c_{1} \\ a_{2} & - b_{2} & - c_{2} \\ a_{3} & - b_{3} & - c_{3} \end{matrix} | \\ = 2 | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | \end{aligned}$
D=2∣ ∣a1+b1+c1a2+b2+c2a3+b3+c3c1+a1c2+a2c3+a3a1+b1a2+b2a3+b3∣ ∣该步是为了得到系数2=2∣ ∣a1+b1+c1a2+b2+c2a3+b3+c3−b1−b2−b3−c1−c2−c3∣ ∣得到二三列=2∣ ∣a1a2a3−b1−b2−b3−c1−c2−c3∣ ∣=2∣ ∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣ ∣

用拆行列式的方法

$\begin{aligned} \begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} b_{1}&c_{1}&a_{1}\\ b_{2}&c_{2}&a_{2}\\ b_{3}&c_{3}&a_{3} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c_{1}&a_{1}&b_{1}\\ c_{2}&a_{2}&b_{2}\\ c_{3}&a_{3}&b_{3}\\ \end{vmatrix}\tag{1}\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} \end{aligned}$
∣ ∣b1+c1b2+c2b3+c3c1+a1c2+a2c3+a3a1+b1a2+b2a3+b3∣ ∣=∣ ∣b1b2b3c1c2c3a1a2a3∣ ∣+∣ ∣c1c2c3a1a2a3b1b2b3∣ ∣=2∣ ∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣ ∣(1)
对于 $(1)$ ，选择拆第一列，如果第一列留 $b$ ，第二列 $c, a$ 可以任选，如果 $b + c$ 组合，第三列只能选 $a$ ，如果选 $b$ ，组成 $b + c + b$ ，行列式为 $0$ ；如果 $b + a$ 组合，无论第三列选 $a, b$ ，行列式都为 $0$ 。第一列选 $c$ 同理。最后只剩两个不为 $0$ 的行列式，即 $(1)$ 式

 三、按行（列）展开公式

 1. 代数余子式

在 $n$ 阶行列式

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$
D=∣ ∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣ ∣
中划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 $n - 1$ 阶的行列式
$| \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, j - 1} & a_{i - 1, j + 1} & \dots & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, j - 1} & a_{i + 1, j + 1} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$
称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ；称 $1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ ，即
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

2. 展开公式

$n$ 阶行列式等于它的任一一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$\begin{aligned} | A | = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} A_{i k}, i = 1, 2, \dots, n \\ | A | = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} A_{k j}, j = 1, 2, \dots, n \end{aligned}$
∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=k=1∑naikAik,i=1,2,⋯,n∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=k=1∑nakjAkj,j=1,2,⋯,n

某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于 $0$

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} A_{j k} = a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n}, i \neq j \\ \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} A_{k j} = a_{1 i} A_{1 j} + a_{2 i} A_{2 j} + \dots + a_{n i} A_{n j}, i \neq j \end{aligned}$
k=1∑naikAjk=ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn,i=jk=1∑nakiAkj=a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj,i=j

特殊情况

上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ 0 & 0 & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$
=
$| \begin{matrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$
=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} ∣ ∣a11000a12a2200⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣ ∣=∣ ∣a11a21⋮an10a22⋮an2⋯⋯⋱⋯000ann∣ ∣=a11a22⋯ann

关于副对角线的行列式

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1, n - 1} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2, n - 1} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix} |$
=
$| \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \dots & a_{2, n - 1} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, n - 1} & a_{n n} \end{matrix} |$
=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n-1} ∣ ∣a11a21⋮an1a12a22⋮0⋯⋯⋯a1,n−1a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣ ∣=∣ ∣00⋮an1⋯⋯⋯0a2,n−1⋮an,n−1a1na2n⋮ann∣ ∣=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an−1

两个特殊的拉普拉斯展开式
如果 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则

$| \begin{matrix} A & * \\ O & B \end{matrix} |$
=
$| \begin{matrix} A & O \\ * & B \end{matrix} |$
=|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{B}| ∣ ∣AO∗B∣ ∣=∣ ∣A∗OB∣ ∣=∣A∣⋅∣B∣
$| \begin{matrix} O & A \\ B & * \end{matrix} |$

范德蒙行列式

$| \begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$
=\prod_{1\leq j
∣ ∣1x1x12x1n−11x2x22x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2xnn−1∣ ∣=1≤j<i≤n∏(xi−xj)
例如
$| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{matrix} |$

例：计算行列式的值
$| \begin{matrix} a + x & a & a & a \\ a & a + x & a & a \\ a & a & a + x & a \\ a & a & a & a + x \end{matrix} |$
D=∣ ∣a+xaaaaa+xaaaaa+xaaaaa+x∣ ∣

行列式相同元素在不同行列上出现有规律，看看能不能提出来系数

常用操作
1. 把所有行/列，加到第一行/列
2. 逐行相加/相减
3. 将第一行/列（乘 $- 1$ ），加大后面的每一行/列（爪型行列式：即只有第一行、第一列、主对角线上非零）；最后一行/列同理。最终目的化成上三角或下三角行列式
$\begin{aligned} D & = | \begin{matrix} 4 a + x & 4 a + x & 4 a + x & 4 a + x \\ a & a + x & a & a \\ a & a & a + x & a \\ a & a & a & a + x \end{matrix} | \\ = (4 a + x) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & a + x & a & a \\ a & a & a + x & a \\ a & a & a & a + x \end{matrix} | \\ = (4 a + x) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{matrix} | \\ = (4 a + x) x^{3} \end{aligned}$
D=∣ ∣4a+xaaa4a+xa+xaa4a+xaa+xa4a+xaaa+x∣ ∣=(4a+x)∣ ∣1aaa1a+xaa1aa+xa1aaa+x∣ ∣=(4a+x)∣ ∣10001x0010x0100x∣ ∣=(4a+x)x3

以下两题属于 $\lambda$ 的三次方程，故应用观察法对行列式恒等变形以期某一行（或列）出现 $\lambda-a$ 的因式，方便解三次方程
观察法非常重要，经常需要多次尝试

例：已知
$| \begin{matrix} λ - 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & λ - 4 & 2 \\ 3 & 3 & λ - 5 \end{matrix} |$
=0 ∣ ∣λ−1−231λ−43−12λ−5∣ ∣=0，求 $\lambda$

$\begin{aligned} 原式 & = | \begin{matrix} λ - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & λ - 4 & 2 \\ λ - 2 & 3 & λ - 5 \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} λ - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & λ - 4 & 2 \\ 0 & 2 & λ - 4 \end{matrix} | \\ = (λ - 2) | \begin{matrix} λ - 4 & 2 \\ 2 & λ - 4 \end{matrix} | \\ = (λ - 2) (λ^{2} - 8 λ + 12) = (λ - 2)^{2} (λ - 6) \end{aligned}$
原式=∣ ∣λ−20λ−21λ−43−12λ−5∣ ∣=∣ ∣λ−2001λ−42−12λ−4∣ ∣=(λ−2)∣ ∣λ−422λ−4∣ ∣=(λ−2)(λ2−8λ+12)=(λ−2)2(λ−6)
所以 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=6$

例：已知
$| \begin{matrix} λ & - 2 & 2 \\ - 2 & λ - 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & λ + 3 \end{matrix} |$
=0 ∣ ∣λ−22−2λ−4−42−4λ+3∣ ∣=0，求 $\lambda$

把第一列的 $- 2$ 倍加到第三列

$\begin{aligned} 原式 & = | \begin{matrix} λ & - 2 & 2 - 2 λ \\ - 2 & λ - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & λ - 1 \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} λ + 4 & - 10 & 0 \\ - 2 & λ - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & λ - 1 \end{matrix} | \\ = (λ - 1) (λ^{2} - 36) \end{aligned}$
原式=∣ ∣λ−22−2λ−4−42−2λ0λ−1∣ ∣=∣ ∣λ+4−22−10λ−4−400λ−1∣ ∣=(λ−1)(λ2−36)
所以 $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=6,\lambda_{3}=-6$

四、克拉默法则

${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{21} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{21} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \\ a_{1 n} x_{1} + a_{2 n} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}$
⎩ ⎨ ⎧a11x1+a21x2+⋯+anxn=b1,a21x1+a21x2+⋯+a2nxn=b2,⋯a1nx1+a2nx2+⋯+annxn=bn
如果系数行列式 $D=|A|\ne0$ ，则方程组有唯一解，且
$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_2=\frac{D_{2}}{D},\cdots,x_n=\frac{D_{n}}{D}$
其中
$| \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & b_{1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & b_{n} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

常用于证明题，很少用于求解方程组，一般行列式是特殊的行列式可能用于求方程组（范德蒙行列式）

推论1：若齐次方程组

${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{21} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{21} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \\ a_{1 n} x_{1} + a_{2 n} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = 0 \end{cases}$
⎩ ⎨ ⎧a11x1+a21x2+⋯+anxn=0,a21x1+a21x2+⋯+a2nxn=0,⋯a1nx1+a2nx2+⋯+annxn=0
的系数行列式不为 $0$ ，则方程组只有一组零解，即
$x_{1}=0,x_{2}=0,\cdots,x_{n}=0$

推论2（推论1逆否命题）：若齐次方程组有非零解，则它的系数行列式必为 $0$
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原文地址：https://blog.csdn.net/liu20020918zz/article/details/126346637

文章目录

一、行列式的概念

1. 二、三阶行列式

2. 排序、逆序、逆序数

3. n n n阶行列式概念

二、行列式的性质

三、按行（列）展开公式

1. 代数余子式

2. 展开公式

特殊情况

四、克拉默法则

3. $n$ 阶行列式概念