【高等数学基础进阶】导数与微分

一、导数与微分的概念

1. 导数的概念

定义1（导数）
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
令$x_0+\Delta x=x$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
令$\Delta x=h$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

定义2（左导数）：
$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

定义3（右导数）：
$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

导数与$f(x_0)$以及其邻域的函数值有关，左导数与$f(x_0)$以及其左邻域的函数值有关，右导数与$f(x_0)$以及其右邻域的函数值有关

定理1：可导$\iff$左右导数都存在且相等

定义4（区间上可导及导函数）

例1：设函数$f(x)$对任意$x$均满足等式$f(1+x)=af(x)$，且有$f^{\prime }(0)=b$，其中$a,b$为非零常数，则$f^{\prime }(1)=$（）

f ′ ( 1 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( 1 + Δ x ) − f ( 1 ) Δ x 为了使用 f ( 1 + x ) = a f ( x ) ，用另一种也行 = lim ⁡ Δ x → 0 a f ( Δ x ) − f ( 1 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 a f ( Δ x ) − a f ( 0 ) Δ x = a lim ⁡ Δ x → 0 f ( Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = a f ′ ( 0 ) = a b

f′(1)​=Δx→0lim​Δxf(1+Δx)−f(1)​为了使用f(1+x)=af(x)，用另一种也行=Δx→0lim​Δxaf(Δx)−f(1)​=Δx→0lim​Δxaf(Δx)−af(0)​=aΔx→0lim​Δxf(Δx)−f(0)​=af′(0)=ab​

2. 微分的概念

定义5（微分）：如果$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可以表示为
$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$$
则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为微分，记为
$$dy=A\Delta x$$

定理2：函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有
$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$$

3. 导数与微分的几何意义

导数的几何意义：导数$f^{\prime }(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率
切线方程
$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
法线方程
$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$

微分的几何意义：微分$dy=f^{\prime }(x_0)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的增量

![[附件/Pasted image 20220812203603.png|300]]
$\Delta y$表示曲线上的改变量，$dy$表示切线上的改变量
用微分代替函数改变量就是在微小的局部用均匀变化代替非均匀变化

4. 连续可导可微之间的关系

连续不一定可导，可导一定连续；连续不一定可微，可微一定连续。可导可微等价

例2：可导$\Rightarrow$可微

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ⇒ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f ′ ( x 0 ) + α ⇒ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x = f ′ ( x 0 ) Δ x + o ( Δ x )

f′(x0​)​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​⇒Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=f′(x0​)+α⇒f(x0​+Δx)−f(x0​)=f′(x0​)Δx+αΔx=f′(x0​)Δx+o(Δx)​
证毕

f ( x ) 在 x 0 ( 的某邻域 ) 可导 { 能推出 f ( x ) 在 x 0 点连续 推不出 f ′ ( x ) 在 x 0 点连续 推不出 lim ⁡ x → x 0 f ′ ( x ) 存在 f(x)在x_{0}(的某邻域)可导

f(x)在x0​(的某邻域)可导⎩ ⎨ ⎧​能推出f(x)在x0​点连续推不出f′(x)在x0​点连续推不出x→x0​lim​f′(x)存在​

例3： f ( x ) = { x 2 sin ⁡ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 f(x)=

f(x)={x2sinx1​,x=00,x=0​
证明：$f(x)$处处可导，$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$不存在

当$x\ne 0$
$$f^{\prime }(0)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$$
当$x=0$
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\sin \frac{1}{x}-0}{x}=0$$
显然$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$不存在

例4：设$f(x)$二阶可导，$f(0)=0.,f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=2$，求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-x}{x^2}$

错误解法的解释
lim ⁡ x → 0 f ( x ) − x x 2 = lim ⁡ x → 0 f ′ ( x ) − 1 2 x lim ⁡ x → 0 f ′ ′ ( x ) 未必存在 = lim ⁡ x → 0 f ′ ′ ( x ) 2 f ′ ′ ( x ) 未必连续 = f ′ ′ ( 0 ) 2 = 1

x→0lim​x2f(x)−x​​=x→0lim​2xf′(x)−1​x→0lim​f′′(x)未必存在=x→0lim​2f′′(x)​f′′(x)未必连续=1​=2f′′(0)​​

正确解法
![[数学基础/高等数学/基础进阶/1.函数、极限、连续/极限#^1]]

使用原则
$f(x),n$阶可导，洛必达法则只能用到出现$f^{(n-1)}(x)$
$f(x),n$阶连续可导，洛必达法则能用到出现$f^{(n)}(x)$

例5：设 f ( x ) = { x λ cos ⁡ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 f(x)=

f(x)={xλcosx1​,x=00,x=0​，其导函数在$x=0$处连续，则$\lambda$取值范围是（）

函数在$x=x_0$处连续，即$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

当$x=0$
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{\lambda }\cos \frac{1}{x}-0}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}$$
若要导函数在$x=0$处连续，首先要$f^{\prime }(0)$存在，因此$\lambda -1>0$，即$\lambda >1$，此时$f^{\prime }(0)=0$
当$x\ne 0$
$$f^{\prime }(x)=\lambda x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}+x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}$$
又$f^{\prime }(0)=0$，有$\lambda x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}+x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}=0$，得$\lambda >2$
综上$\lambda >2$

二、导数公式及求导法则

1. 基本初等函数的导数公式

( C ) ′ = 0 ( x α ) ′ = α x α − 1 ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( e x ) ′ = e x ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a ( ln ⁡ ∣ x ∣ ) ′ = 1 x ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( arccot  x ) ′ = − 1 1 + x 2

(C)′(xα)′(ax)′(ex)′(loga​x)′(ln∣x∣)′(sinx)′(cosx)′(tanx)′(cotx)′(secx)′(cscx)′(arcsinx)′(arccosx)′(arctanx)′(arccot x)′​=0=αxα−1=axlna=ex=xlna1​=x1​=cosx=−sinx=sec2x=−csc2x=secxtanx=−cscxcotx=1−x2 ​1​=−1−x2 ​1​=1+x21​=−1+x21​​

2. 求导法则

有理运算法则

• $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

复合函数求导法

设$u=\varphi (x),y=f(u)$可导，则$y=f[\varphi (x)]$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\varphi }^{\prime }(x)$$

设函数$f(x)$可导

• 若$f(x)$是奇函数，则$f^{\prime }(x)$是偶函数
• 若$f(x)$是偶函数，则$f^{\prime }(x)$是奇函数
• 若$f(x)$是周期函数，则$f^{\prime }(x)$也是周期函数

隐函数求导法

$$F(x,y)=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

反函数的导数

若$y=f(x)$可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数$x=\varphi (y)$也可导，且
$${\varphi }^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)},\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

例6：证明：$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

参数方程求导法

设$y=y(x)$是由 { x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) , ( α < x < β )

,(\alpha{x=ϕ(t)y=ψ(t)​,(α<x<β)确定的函数，则
若$\varphi (t)$和$\psi (t)$都可导，且${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$$
若$\varphi (t)$和$\psi (t)$二阶可导，且${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$，则
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)})\cdot \frac{1}{{\varphi }^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\varphi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime 3}(t)}$$

对数求导法

对于幂指函数，默认底数大于零

例7：设$y=(1+\sin x{)}^x$，则$dy{|}_{x=\pi }=$（）

ln ⁡ y = x ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ x ) y ′ y = ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ x ) + x cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x y ′ = ( 1 + sin ⁡ x ) x [ ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ x ) + x cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x ] y ′ ∣ x = π = − π d y ∣ x = π = ( − π ) d x

ln⁡y=xln⁡(1+sin⁡x)y′y=ln⁡(1+cos⁡x)+xcos⁡x1+sin⁡xy′=(1+sin⁡x)x[ln⁡(1+sin⁡x)+xcos⁡x1+sin⁡x]y′|x=π=−πdy|x=π=(−π)dx" role="presentation" style="position: relative;">lnyy′yy′y′|x=πdy|x=π=xln(1+sinx)=ln(1+cosx)+xcosx1+sinx=(1+sinx)x[ln(1+sinx)+xcosx1+sinx]=−π=(−π)dx$$\begin{array}{rl}\ln y& =x\ln (1+\sin x)\\ \frac{y^{\prime }}{y}& =\ln (1+\cos x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}\\ y^{\prime }& =(1+\sin x{)}^x[\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}]\\ y^{\prime }{|}_{x=\pi }& =-\pi \\ dy{|}_{x=\pi }& =(-\pi )dx\end{array}$$

lnyyy′​y′y′∣x=π​dy∣x=π​​=xln(1+sinx)=ln(1+cosx)+1+sinxxcosx​=(1+sinx)x[ln(1+sinx)+1+sinxxcosx​]=−π=(−π)dx​

也可以化成指数形式，即$e^{x\ln (1+\sin x)}$，用复合函数求导法

例8：设$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$，求$y^{\prime }$

ln ⁡ y = 1 2 ( ln ⁡ ∣ x − 1 ∣ + ln ⁡ ∣ x − 2 ∣ − ln ⁡ ∣ x − 3 ∣ − ln ⁡ ∣ x − 4 ∣ ) y ′ y = 1 2 ( 1 x − 1 + 1 x − 2 − 1 x − 3 − 1 x − 4 ) y ′ = 1 2 ( 1 x − 1 + 1 x − 2 − 1 x − 3 − 1 x − 4 ) ⋅ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 )

ln⁡y=12(ln⁡|x−1|+ln⁡|x−2|−ln⁡|x−3|−ln⁡|x−4|)y′y=12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)y′=12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)⋅(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)" role="presentation" style="position: relative;">lnyy′yy′=12(ln|x−1|+ln|x−2|−ln|x−3|−ln|x−4|)=12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)=12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)⋅(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)−−−−−−−−−−−−√$$\begin{array}{rl}\ln y& =\frac{1}{2}(\ln |x-1|+\ln |x-2|-\ln |x-3|-\ln |x-4|)\\ \frac{y^{\prime }}{y}& =\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})\\ y^{\prime }& =\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})\cdot \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\end{array}$$

lnyyy′​y′​=21​(ln∣x−1∣+ln∣x−2∣−ln∣x−3∣−ln∣x−4∣)=21​(x−11​+x−21​−x−31​−x−41​)=21​(x−11​+x−21​−x−31​−x−41​)⋅(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)​ ​​

三、高阶导数

定义6（高阶导数）：$y^{(n)}=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }$
f ( n ) ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( n − 1 ) ( x 0 + Δ x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0

f(n)(x0)=limΔx→0f(n−1)(x0+Δx)−f(n−1)(x0)Δx=limx→x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)x−x0" role="presentation" style="position: relative;">f(n)(x0)=limΔx→0f(n−1)(x0+Δx)−f(n−1)(x0)Δx=limx→x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)x−x0$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x_0)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f^{(n-1)}(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}\end{array}$$

f(n)(x0​)​=Δx→0lim​Δxf(n−1)(x0​+Δx)−f(n−1)(x0​)​=x→x0​lim​x−x0​f(n−1)(x)−f(n−1)(x0​)​​

注：如果函数$f(x)$在点$x$处$n$阶可导，则在点$x$的某邻域内$f(x)$必定具有一切低于$n$阶的导数

常用的高阶导数公式
( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n ⋅ π 2 ) ( sin ⁡ ( a x + b ) ) ( n ) = sin ⁡ ( a x + b + n ⋅ π 2 ) a n ( cos ⁡ x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n ⋅ π 2 ) ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k )

(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n⋅π2)(sin⁡(ax+b))(n)=sin⁡(ax+b+n⋅π2)an(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+n⋅π2)(u±v)(n)=u(n)±v(n)(uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)" role="presentation" style="position: relative;">(sinx)(n)(sin(ax+b))(n)(cosx)(n)(u±v)(n)(uv)(n)=sin(x+n⋅π2)=sin(ax+b+n⋅π2)an=cos(x+n⋅π2)=u(n)±v(n)=∑k=0nCknu(k)v(n−k)$$\begin{array}{rl}(\sin x{)}^{(n)}& =\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\\ (\sin (ax+b){)}^{(n)}& =\sin (ax+b+n\cdot \frac{\pi }{2})a^n\\ (\cos x{)}^{(n)}& =\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\\ (u\pm v{)}^{(n)}& =u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (uv{)}^{(n)}& =\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\end{array}$$

(sinx)(n)(sin(ax+b))(n)(cosx)(n)(u±v)(n)(uv)(n)​=sin(x+n⋅2π​)=sin(ax+b+n⋅2π​)an=cos(x+n⋅2π​)=u(n)±v(n)=k=0∑n​Cnk​u(k)v(n−k)​

常考题型与经典例题

导数定义

例9：已知$f^{\prime }(x_0)=-1$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=()$

lim ⁡ x → 0 f ( x 0 − 2 x ) − f ( x 0 − x ) x = lim ⁡ x → 0 f ( x 0 − 2 x ) − f ( x 0 ) − 2 x ( − 2 ) + lim ⁡ x → 0 f ( x 0 − x ) − f ( x 0 ) − x = − 2 f ′ ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) = − 1

limx→0f(x0−2x)−f(x0−x)x=limx→0f(x0−2x)−f(x0)−2x(−2)+limx→0f(x0−x)−f(x0)−x=−2f′(x0)+f′(x0)=−1" role="presentation" style="position: relative;">limx→0f(x0−2x)−f(x0−x)x=limx→0f(x0−2x)−f(x0)−2x(−2)+limx→0f(x0−x)−f(x0)−x=−2f′(x0)+f′(x0)=−1$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x_0-2x)-f(x_0)}{-2x}(-2)+\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x_0-x)-f(x_0)}{-x}\\ & =-2f^{\prime }(x_0)+f^{\prime }(x_0)=-1\end{array}$$

x→0lim​xf(x0​−2x)−f(x0​−x)​​=x→0lim​−2xf(x0​−2x)−f(x0​)​(−2)+x→0lim​−xf(x0​−x)−f(x0​)​=−2f′(x0​)+f′(x0​)=−1​

对于选择填空，可以用特殊函数法
设$f(x)=-x$，满足$f^{\prime }(x_0)=-1$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{-(x_0-2x)+(x_0-x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x}=1$$

例10：设函数$y=f(x)$由方程$y-x=e^{x(1-y)}$确定，则$\underset{x\to \infty }{\lim }n(f(\frac{1}{n})-1)$

lim ⁡ x → ∞ n ( f ( 1 n ) − 1 ) = lim ⁡ x → ∞ f ( 1 n ) − 1 1 n 注意到 1 n → 0 ，如果存在 f ′ ( 0 ) = 1 = lim ⁡ x → ∞ f ( 0 + 1 n ) − f ( 0 ) 1 n = f ′ ( 0 ) = 1

limx→∞n(f(1n)−1)=limx→∞f(1n)−11n注意到1n→0，如果存在f′(0)=1=limx→∞f(0+1n)−f(0)1n=f′(0)=1" role="presentation" style="position: relative;">limx→∞n(f(1n)−1)=limx→∞f(1n)−11n注意到1n→0，如果存在f′(0)=1=limx→∞f(0+1n)−f(0)1n=f′(0)=1$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}n(f(\frac{1}{n})-1)& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(\frac{1}{n})-1}{\frac{1}{n}}\\ & 注意到\frac{1}{n}\to 0，如果存在f^{\prime }(0)=1\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(0+\frac{1}{n})-f(0)}{\frac{1}{n}}\\ & =f^{\prime }(0)=1\end{array}$$

x→∞lim​n(f(n1​)−1)​=x→∞lim​n1​f(n1​)−1​注意到n1​→0，如果存在f′(0)=1=x→∞lim​n1​f(0+n1​)−f(0)​=f′(0)=1​
验证$f^{\prime }(0)=1$
y ′ − 1 = e x ( 1 − y ) ( ( 1 − y ) − x y ′ ) 代入 x = 0 , y = 1 y ′ ( 0 ) − 1 = 0 y ′ ( 0 ) = 1 = f ′ ( 0 )

y′−1=ex(1−y)((1−y)−xy′)代入x=0,y=1y′(0)−1=0y′(0)=1=f′(0)" role="presentation" style="position: relative;">y′−1y′(0)−1y′(0)=ex(1−y)((1−y)−xy′)代入x=0,y=1=0=1=f′(0)$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }-1& =e^{x(1-y)}((1-y)-x{y}^{\prime })代入x=0,y=1\\ y^{\prime }(0)-1& =0\\ y^{\prime }(0)& =1=f^{\prime }(0)\end{array}$$

y′−1y′(0)−1y′(0)​=ex(1−y)((1−y)−xy′)代入x=0,y=1=0=1=f′(0)​
原式得证$f^{\prime }(0)=1$

例11：证明$f(x)=|x|\sin \sqrt{|x|}$在$x=0$处可导，$f(x)=\cos \sqrt{|x|}$在$x=0$处不可导

lim ⁡ x → 0 ∣ x ∣ sin ⁡ ∣ x ∣ − 0 x = lim ⁡ x → 0 ∣ x ∣ ∣ x ∣ x = lim ⁡ x → 0 ± ∣ x ∣ = 0 lim ⁡ x → 0 cos ⁡ ∣ x ∣ − 1 x = lim ⁡ x → 0 − 1 2 ( ∣ x ∣ ) 2 x = − 1 2 lim ⁡ x → 0 ∣ x ∣ x = { − 1 2 , x → 0 + 1 2 , x → 0 −

limx→0|x|sin⁡|x|−0x=limx→0|x||x|x=limx→0±|x|=0limx→0cos⁡|x|−1x=limx→0−12(|x|)2x=−12limx→0|x|x={−12,x→0+12,x→0−" role="presentation" style="position: relative;">limx→0|x|sin|x|−−√−0xlimx→0cos|x|−−√−1x=limx→0|x||x|−−√x=limx→0±|x|−−√=0=limx→0−12(|x|−−√)2x=−12limx→0|x|x={−12,x→0+12,x→0−$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|\sin \sqrt{|x|}-0}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|\sqrt{|x|}}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\pm \sqrt{|x|}\\ & =0\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos \sqrt{|x|}-1}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}(\sqrt{|x|}{)}^2}{x}\\ & =-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}\\ & =\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2},x\to 0^{+}\\ \frac{1}{2},x\to 0^{-}\end{array}\end{array}$$

x→0lim​x∣x∣sin∣x∣ ​−0​x→0lim​xcos∣x∣ ​−1​​=x→0lim​x∣x∣∣x∣ ​​=x→0lim​±∣x∣ ​=0=x→0lim​x−21​(∣x∣ ​)2​=−21​x→0lim​x∣x∣​={−21​,x→0+21​,x→0−​​

例12：设$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，则$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件；$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在不是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=f^{\prime }(a)$$
此处$-h$和定义分母中的$h$是一样的，由于$\underset{h\to 0}{\lim }$，包含正负两侧
因此$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2}[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\frac{f(a-h)-f(a)}{h}]$$
题中只说明了$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在，无法说明$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$或$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a-h)-f(a)}{h}$中任何一个存在
因此$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在不是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件
例如$f(x)=|x|$，对$a=0$有
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|-|-h|}{2h}=0$$

复合函数、隐函数、参数方程求导

高阶导数

例13：设函数$y=\frac{1}{2x+3}$，则$y^{(n)}(0)=()$

y = ( 2 x + 3 ) − 1 y ′ = ( − 1 ) ( 2 x + 3 ) − 2 ⋅ 2 y ′ ′ = ( − 1 ) ( − 2 ) ( 2 x + 3 ) − 3 ⋅ 2 2 y ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( 2 x + 3 ) − ( n + 1 ) ⋅ 2 n y ( n ) ( 0 ) = ( − 1 ) n n ! 2 n 3 n + 1

y=(2x+3)−1y′=(−1)(2x+3)−2⋅2y″=(−1)(−2)(2x+3)−3⋅22y(n)=(−1)nn!(2x+3)−(n+1)⋅2ny(n)(0)=(−1)nn!2n3n+1" role="presentation" style="position: relative;">yy′y′′y(n)y(n)(0)=(2x+3)−1=(−1)(2x+3)−2⋅2=(−1)(−2)(2x+3)−3⋅22=(−1)nn!(2x+3)−(n+1)⋅2n=(−1)nn!2n3n+1$$\begin{array}{rl}y& =(2x+3{)}^{-1}\\ y^{\prime }& =(-1)(2x+3{)}^{-2}\cdot 2\\ y^{″}& =(-1)(-2)(2x+3{)}^{-3}\cdot 2^2\\ y^{(n)}& =(-1{)}^{n}n!(2x+3{)}^{-(n+1)}\cdot 2^n\\ y^{(n)}(0)& =\frac{(-1{)}^{n}n!2^n}{3^{n+1}}\end{array}$$

yy′y′′y(n)y(n)(0)​=(2x+3)−1=(−1)(2x+3)−2⋅2=(−1)(−2)(2x+3)−3⋅22=(−1)nn!(2x+3)−(n+1)⋅2n=3n+1(−1)nn!2n​​

例14：函数$f(x)=x^2{2}^x$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)=()$

$f(x)=x^2{2}^x$，令$x^2=u,2^x=v$
( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) u = x 2 , u ′ = 2 x , u ′ ′ = 2 , u ′ ′ ′ = 0 v ′ = 2 x ln ⁡ 2 , v ′ ′ = 2 x ( ln ⁡ 2 ) 2 , v ( n ) = 2 x ( ln ⁡ 2 ) ( n )

(uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)u=x2,u′=2x,u″=2,u‴=0v′=2xln⁡2,v″=2x(ln⁡2)2,v(n)=2x(ln⁡2)(n)" role="presentation" style="position: relative;">(uv)(n)=∑k=0nCknu(k)v(n−k)u=x2,u′=2x,u′′=2,u′′′=0v′=2xln2,v′′=2x(ln2)2,v(n)=2x(ln2)(n)$$\begin{array}{c}(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\\ u=x^2,u^{\prime }=2x,u^{″}=2,u^{‴}=0\\ v^{\prime }=2^x\ln 2,v^{″}=2^x(\ln 2{)}^2,v^{(n)}=2^x(\ln 2{)}^{(n)}\end{array}$$

(uv)(n)=k=0∑n​Cnk​u(k)v(n−k)u=x2,u′=2x,u′′=2,u′′′=0v′=2xln2,v′′=2x(ln2)2,v(n)=2x(ln2)(n)​
代入$f^{(n)}(0)$，注意$x=0$
$$f^{(n)}(0)=C_n^2{u}^{\prime \prime }(0)v^{(n-2)}(0)=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}$$

导数应用

例15：对数螺线$\rho =e^{\theta }$在点$(\rho ,\theta )=(e^{\frac{\pi }{2}},\frac{\pi }{2})$处的切线的直角坐标方程为（）

转化为参数方程
ρ = e θ ⇒ { x = e θ cos ⁡ θ y = e θ sin ⁡ θ \rho=e^{\theta}\Rightarrow

{x=eθcos⁡θy=eθsin⁡θ" role="presentation" style="position: relative;">{x=eθcosθy=eθsinθ$$\{\begin{array}{l}x=e^{\theta }\cos \theta \\ y=e^{\theta }\sin \theta \end{array}$$

ρ=eθ⇒{x=eθcosθy=eθsinθ​
求导
$$\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\theta }\sin \theta +e^{\theta }\cos \theta }{e^{\theta }\cos \theta -e^{\theta }\sin \theta }\frac{dy}{dx}{|}_{\theta =\frac{\pi }{2}}=-1$$
所以方程为$x+y=e^{\frac{\pi }{2}}$

相关变化率

例16：已知动点$P$在曲线$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对时间的变化率为常数$v_0$，则当点$P$运动到点$(1,1)$时，$l$对时间的变化率是（）

由题意知
$$\frac{dx}{dt}=v_0,l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6}$$
求导
$$\frac{dl}{dt}=\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0{|}_{x=1}=2\sqrt{2}{v}_0$$

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