在做作业的时候，发现和很多其他同学遇到一样的问题：旋转了90°。在作业3的小牛的时候，倒立的图像实在是看不过去了，就打算回头来研究一下这个问题了

学习

• 原因

参考[1][2]，先说一下问题原因：代码里面传过来的近平面和远平面都是正数，但是在课程视频里面说的n, f都是负数，看范围也可以看出来是是要写成[f, n]。

• 解决

看了一下参考[1][2]中一些同学说的方法，把正负取反，以及乘以一个变换矩阵，都觉得怪怪的，所以手动推导一遍投影矩阵，直接应用这个公式看看。

透视投影矩阵推导

一些设定

• 坐标系：右手坐标系
  

• 向量记法：列向量

V = ( x y z 1 ) V =

V=⎝ ⎛​xyz1​⎠ ⎞​

• 摄像机是在原点，并且朝向z轴负方向看

这个会导致空间中任意一个要归一化标准立方体的范围是[l,r]x[b,t]x[f,n]

推导过程

简单思路就是，先把透视投影矩阵转换到正交投影矩阵

• 正交投影矩阵

直接参考视频《Lecture 04 Transform Cont.》。先平移再缩放，这里因为是列向量表示法，所以是缩放矩阵x平移矩阵。

M o r t h o = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] M_{ortho} =

Mortho​=⎣ ⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​⎦ ⎤​

• 齐次坐标空间性质

对于3D空间中任意一点(x, y, z)，其次坐标乘以任意一个非0的实数都表示的是3D空间中的同一个点。即(x, y, z, 1) == (xz, yz, z^2, z != 0)，这里乘以特殊的z也是满足这个性质的。

• 透视投影视锥体上点投影到正交投影的立方体上
  对于任意一点(x, y, z)投影到(x’, y’, z’)
• y->y’

可以很容易求出来(相似三角形)

$$y^{\prime }=\frac{n}{z}y$$

• x->x’

同理可得

$$x^{\prime }=\frac{n}{z}x$$

• 根据其次坐标空间性质，变换后的点都乘以z

( n x / z n y / z ? 1 ) = ( n x n y ? z )

= ⎝ ⎛​nx/zny/z?1​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​nxny?z​⎠ ⎞​

现在z不知道，接下来构建矩阵

M p e r s p − > o r t h o ( x y z 1 ) = ( n x / z n y / z ? z ) = ( n x n y ? z ) M_{persp->ortho}

= = Mpersp−>ortho​⎝ ⎛​xyz1​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​nx/zny/z?z​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​nxny?z​⎠ ⎞​

• 初步可得

M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ] M_{persp->ortho} =

Mpersp−>ortho​=⎣ ⎡​n0?0​0n?0​00?1​00?0​⎦ ⎤​

• 根据两个特例来求上面这个矩阵
  （1）对于近平面上的点，变换前后没有任何变化
  （2）对于远平面上的中心点，变换前后没有变换

• 近平面上的点满足条件

M p e r s p − > o r t h o ( x y n 1 ) = [ n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ] ( x y n 1 ) = ( x y n 1 ) = = ( n x n y n 2 n ) M_{persp->ortho}

= = == Mpersp−>ortho​⎝ ⎛​xyn1​⎠ ⎞​=⎣ ⎡​n0?0​0n?0​00?1​00?0​⎦ ⎤​⎝ ⎛​xyn1​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​xyn1​⎠ ⎞​==⎝ ⎛​nxnyn2n​⎠ ⎞​
可知第三行前面两个和xy无关，但是可能和后面两个有关，设为A和B。所以矩阵可以写成如下形式：

M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 A B 0 0 1 0 ] M_{persp->ortho} =

Mpersp−>ortho​=⎣ ⎡​n000​0n00​00A1​00B0​⎦ ⎤​
可得第一个等式

$$An+B=n^2$$

• 对于远平面中心点

M p e r s p − > o r t h o ( 0 0 f 1 ) = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 A B 0 0 1 0 ] ( 0 0 f 1 ) = ( 0 0 f 1 ) = = ( 0 0 f 2 f ) M_{persp->ortho}

= = == Mpersp−>ortho​⎝ ⎛​00f1​⎠ ⎞​=⎣ ⎡​n000​0n00​00A1​00B0​⎦ ⎤​⎝ ⎛​00f1​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​00f1​⎠ ⎞​==⎝ ⎛​00f2f​⎠ ⎞​

可得第二个等式

$$Af+B=f^2$$

根据两个等式可分别求得A和B：

A = n + f B = − n f

​A=n+fB=−nf​

• 先列出来fov和n的关系

因为f < n < 0，所以：

t a n ( β / 2 ) = r a t i o − n t a n ( α / 2 ) = 1 − n

​tan(β/2)=−nratio​tan(α/2)=−n1​​

其中：

h = 1 r a t i o = w h = w

​h=1ratio=hw​=w​

参考《3D Game Programming with DirectX 11》这本书里面的推导的概念，因为主要是关心纵横比（aspect ratio），所以可以简化的把h设置为1.

• 正交投影矩阵表示

M o r t h o = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ]

Mortho​​=⎣ ⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00n−f2​0​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​1000​0100​0010​00−2n+f​1​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00n−f2​0​00−n−fn+f​1​⎦ ⎤​​

• 最终的透视投影矩阵

M p e r s p = M o r t h o M p e r s p − > o r t h o = [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] = [ n r a t i o 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f n − f − 2 n f n − f 0 0 1 0 ] = [ − 1 t a n ( β / 2 ) 0 0 0 0 − r a t i o n t a n ( β / 2 ) 0 0 0 0 n + f n − f − 2 n f n − f 0 0 1 0 ]

Mpersp​​=Mortho​Mpersp−>ortho​=⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00n−f2​0​00−n−fn+f​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​ration​000​0n00​00n−fn+f​1​00−n−f2nf​0​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​tan(β/2)−1​000​0−tan(β/2)ration​00​00n−fn+f​1​00−n−f2nf​0​⎦ ⎤​​

• bingo

这样结果虽然对了，但是其实是不合理的，因为传进来的f > n > 0是和这个推导不一致的。如果把-f, -n 代入到上面的矩阵，结果还是不对。代码里面应该还有哪个地方做了一次转换把这个问题给屏蔽掉了，后面继续看！

扩展

关于推导，看到上面就ok了，但是我在想左手和右手坐标系关系到底有多大，所以打算推一遍左手坐标系的

• 行向量表示法

V = ( x , y , z , 1 ) V =

V=(x,y,z,1​)

• 摄像机朝向z轴正方向看，立方体表示为[l, r]x[b,t]x[n,f]

注意这里f > n > 0

矩阵推导

• 正交矩阵

M o r t h o = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − r + l 2 − t + b 2 − n + f 2 1 ] [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 − n + f 2 1 ] [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 0 1 ] = [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 − n + f f − n 1 ]

Mortho​​=⎣ ⎡​100−2r+l​​010−2t+b​​001−2n+f​​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00f−n2​0​0001​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​1000​0100​001−2n+f​​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00f−n2​0​0001​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00f−n2​−f−nn+f​​0001​⎦ ⎤​​

• 透视投影矩阵

求出来的A和B跟右手坐标系是一样的结果：

A = n + f B = − n f

​A=n+fB=−nf​

从这里可以看出来一点就是透视到正交的变换是跟坐标系无关的

M p e r s p = M p e r s p − > o r t h o M o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 − n + f f − n 1 ] = [ n r a t i o 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f f − n 1 0 0 2 n f f − n 0 ] = [ 1 t a n ( β / 2 ) 0 0 0 0 r a t i o n t a n ( β / 2 ) 0 0 0 0 n + f f − n 1 0 0 2 n f f − n 0 ]

Mpersp​​=Mpersp−>ortho​Mortho​=⎣ ⎡​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​⎦ ⎤​⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00f−n2​−f−nn+f​​0001​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​ration​000​0n00​00f−nn+f​f−n2nf​​0010​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​tan(β/2)1​000​0tan(β/2)ration​00​00f−nn+f​f−n2nf​​0010​⎦ ⎤​​

可以看到这里和《3D数学基础图形与游戏开发》这本书上的是一样的

疑问：《3D Game Programming with DirectX 11》不一样是为什么？

书上推导出来的矩阵形式如下：

[ 1 r t a n ( α / 2 ) 0 0 0 0 1 t a n ( α / 2 ) 0 0 0 0 f f − n 1 0 0 − n f f − n 0 ]

⎣ ⎡​rtan(α/2)1​000​0tan(α/2)1​00​00f−nf​−f−nnf​​0010​⎦ ⎤​

参考书上5.6.3.4章节

• 原因

原因主要是DX里面要求的立方体在z轴方向的范围是[0,1]，而不是这里的[-1,1]。所以，把上面的正交投影矩阵改一下即可

• 正交投影矩阵

M o r t h o = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − r + l 2 − t + b 2 − n 1 ] [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 1 f − n 0 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 − n 1 ] [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f − n 0 0 0 0 1 ] = [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f − n 0 0 0 − n f − n 1 ]

Mortho​​=⎣ ⎡​100−2r+l​​010−2t+b​​001−n​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00f−n1​0​0001​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​1000​0100​001−n​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00f−n1​0​0001​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00f−n1​−f−nn​​0001​⎦ ⎤​​

• 透视投影矩阵

M p e r s p = M p e r s p − > o r t h o M o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] [ 1 r a t i o 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f − n 0 0 0 − n f − n 1 ] = [ 1 t a n ( β / 2 ) 0 0 0 0 r a t i o n t a n ( β / 2 ) 0 0 0 0 f f − n 1 0 0 − n f f − n 0 ]

Mpersp​​=Mpersp−>ortho​Mortho​=⎣ ⎡​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​⎦ ⎤​⎣ ⎡​ratio1​000​0100​00f−n1​−f−nn​​0001​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​tan(β/2)1​000​0tan(β/2)ration​00​00f−nf​−f−nnf​​0010​⎦ ⎤​​

这样就和书上一致了。

参考

[1]https://zhuanlan.zhihu.com/p/509902950
[2]https://games-cn.org/forums/forum/graphics-intro/page/3/
[3]https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4&vd_source=c10ae5c27bbde8ef3af23889645a0d8b
[4]《3D Game Programming with DirectX 11》
[5]《3D数学基础图形与游戏开发》