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一、LDA

二、LDA的推导

1.求样本方差

2.优化LDA

三、PCA和LDA的区别

一、LDA

线性判别式分析，又称Fisher线性判别（Linear discriminant analysis）。

如下图所示：

左图是前面我们学到的PCA（主成分分析），PCA是一种数据压缩算法（降维），它压缩的目的是，使之在后续数据恢复中的损失最小，优化准则是最小重构误差，是无监督学习算法；右图是LDA，LDA是一个监督学习算法，它是有类别的，其次，LDA算法也是一个数据压缩算法，它压缩的目的是可以很好的将样本区分开，优化准则是让每个类之间距离更大，类内更加紧凑（即最大化类间均值，最小化类内方差）。

二、LDA的推导

我们来看一下LDA是怎么推导的：

1.求样本方差

K类样本如下图所示：

我们假设为变换后的样本，即映射到主向量上的样本。

则在主向量上的表示为：

 它们之间的关系如图所示：

 因为我们想要最小化类内方差，所以计算第K类的方差：

为样本方差公式，其中为变换之后的样本，为变换之后的均值。

那这个公式是怎么得来的呢？

其中间转换公式为：

然后将代入

注意，x和u是列向量，是一个实数，实数的转置还是实数；我们假设u是一个单位向量，则，若u的长度定义为a，则在下属公式右边再乘a。。

全部过程如下所示：

线性判别分析LDA.m

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要求第K类样本的方差还要除以第K类样本的个数：

其中（均值）

2.优化LDA

（1）最小化类内方差

对K类样本的方差求和：

 最终求得，我们的目的就是使这一项尽可能的小，

（2）最大化类间均值

不同样本之间距离可以表示为：

 对求和得到：

 最终求得，我们的目的是使这一项尽可能的大。

线性判别分析(LDA)

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总结：

我们的最终目的就是，最小化，最大化。

我们构建下述公式，求 J 的最大值。

其中求最大值我们应用的拉格朗日乘子。

我们使得，则该方程变为Tu = λu，该问题就转变为特征值和特征向量的问题，从而得到 u 和 λ 。

附手推图：

三、PCA和LDA的区别

PCA（主成分分析）是一种数据压缩算法（降维），它压缩的目的是，使之在后续数据恢复中的损失最小，优化准则是最小重构误差，是无监督学习算法；LDA是一个监督学习算法，它是有类别的，其次，LDA算法也是一个数据压缩算法，它压缩的目的是可以很好的将样本区分开，优化准则是让每个类之间距离更大，类内更加紧凑（即最大化类间均值，最小化类内方差）。

主方向个数：

有N类样本，每个样本的维数为n

PCA最多可以找到n个主方向。

LDA最多可以找到N-1个主方向。