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线性代数复习CH3：n维向量
3.n维向量
3.1 向量及其线性运算
3.1.1 向量的概念
定义：由数 ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) (a_1,a_2,...,a_n) (a1,a2,...,an)组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量。向量通常由斜体的希腊字母 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ表示。
如，行向量： α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) \alpha =(a_1,a_2,...,a_n) α=(a1,a2,...,an)
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可以将矩阵的每一行看做一个行向量，每一列看做一个列向量。
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如果向量的所有的元素都是0，那么是0向量。
向量相等的概念：同型、对应元素相等（横着写，竖着写无所谓）
向量的长度： α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , 数值 a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 \alpha=(a_1,a_2,...,a_n),数值\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2} α=(a1,a2,...,an),数值a12+a22+...+an2称为向量 α \alpha α的长度或者范数或者模，记为 ∣ ∣ α ∣ ∣ ||\alpha|| ∣∣α∣∣
——二维向量长度的推广
- 如果长度为0，那么这个向量一定是0向量。——0向量的充要条件：长度为0
- 单位向量： ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 ||\alpha|| = 1 ∣∣α∣∣=1，那么是单位向量
3.1.2 n维向量的线性运算
3.1.2.1 线性运算
设向量 α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , β = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) \alpha =(a_1,a_2,...,a_n),\beta = (b_1,b_2,...,b_n) α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn)
- 加法：对应元素相加
- 减法：对应元素相减
- 数乘：每个元素乘以k
线性运算满足的8条运算规律：
3.1.2.2 线性组合
线性组合的定义：设向量 β , α 1 , α 2 , . . . , α m \beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m β,α1,α2,...,αm，若存在一组数 k 1 , k 2 , . . , k m k_1,k_2,..,k_m k1,k2,..,km使 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m β=k1α1+k2α2+...+kmαm，则称向量 β \beta β可由向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性表示，或者称** β \beta β是 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm的线性组合**。
例：设 α 1 = ( 1 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 3 , 1 ) , α 3 ( 4 , 1 , − 1 ) \alpha_1=(1,2,-1),\alpha_2=(2,-3,1),\alpha_3(4,1,-1) α1=(1,2,−1),α2=(2,−3,1),α3(4,1,−1)，证明： α 3 \alpha_3 α3是 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2的线性组合
设 α 3 = k 1 α 1 + k 2 α 2 \alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 α3=k1α1+k2α2，即：
( 4 , 1 , − 1 ) = k 1 ( 1 , 2 , − 1 ) + k 2 ( 2 , − 3 , 1 ) (4,1,-1) = k_1(1,2,-1)+k_2(2,-3,1) (4,1,−1)=k1(1,2,−1)+k2(2,−3,1)
得：
3.1.2.3 向量组的等价
向量组的等价：设有两个向量组(I): α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr ；(II) β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs
若向量组（I）中每个向量都可以由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可以由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。
向量组的等价具有：自反性，对称性，传递性
3.1.3 向量组的线性相关性
3.1.3.1 定义
设向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm，若存在一组不全为0的数， k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km使：
k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
则称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性相关，否则 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性无关。note:
一个向量时：
- 若该向量是零向量，则它线性相关；
- 若该向量是非零向量，那么他线性无关
k α = 0 , α ≠ 0 , ⇒ k = 0 k\alpha=0,\alpha\neq 0,\Rightarrow k=0 kα=0,α=0,⇒k=0
两个向量：
- 两个向量的对应分量成比例
含有零向量：
任意一个含有零向量的向量组是线性相关的。
3.1.3.2 相关性的判定
（1）线性相关的和线性组合的关系定理
定理1：向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m ( m ≥ 2 ) \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m(m\geq 2) α1,α2,...,αm(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余 m − 1 m-1 m−1个向量线性表示
定理2：设向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性无关，而向量组 β , α 1 , α 2 , . . . , α m \beta, \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m β,α1,α2,...,αm线性相关，则 β \beta β可由 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性表示且唯一。
线性表示：反证法可证明
k β + k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 ⇒ k β = − ( k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m ) k\beta+k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0\Rightarrow k\beta=-(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m) kβ+k1α1+k2α2+...+kmαm=0⇒kβ=−(k1α1+k2α2+...+kmαm)
若 k k k为0，那么 k β k\beta kβ为0，得到 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0，与 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性无关矛盾。所以 k ≠ 0 k\neq 0 k=0，故： β = − k 1 k α 1 − k 2 k α 2 + . . . + − k m k α m \beta=-\frac{k_1}{k}\alpha_1-\frac{k_2}{k}\alpha_2+...+-\frac{k_m}{k}\alpha_m β=−kk1α1−kk2α2+...+−kkmαm，即 β \beta β可由 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性表示
唯一性：标准证法：
（2）相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，那么整个向量组也必定线性相关；反之不对。
逆否命题：任何一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量都线性无关。
定理4：m个n维向量 α i = ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i n ) ( i = 1 , 2 , . . . , m ) \alpha_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in})(i=1,2,...,m) αi=(ai1,ai2,...,ain)(i=1,2,...,m)线性相关的充要条件是由 α i ( i = 1 , 2 , . . . , m ) \alpha_i(i=1,2,...,m) αi(i=1,2,...,m)构成的矩阵
A = [ α 1 α 2 . . . α m ] = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n . . . a m 1 a m 2 … a m n ] A==[ α 1 α 2 . . . α m ] A=⎣ ⎡α1α2...αm⎦ ⎤=⎣ ⎡a11a21...am1a12a22am2………a1na2namn⎦ ⎤[ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n . . . a m 1 a m 2 … a m n ]
的秩 r ( A ) < m r(A)r(A)<m 证明：
⇒ \Rightarrow ⇒： α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性相关，
由定理1知，必有某个向量（不妨设 α m \alpha_m αm）可由其余m-1个向量线性表示，即： α m = k 1 α 1 + . . . + k m − 1 α m − 1 \alpha_m=k_1\alpha_1+...+k_{m-1}\alpha_{m-1} αm=k1α1+...+km−1αm−1
A = [ α 1 α 2 . . . α m ] = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n . . . a m 1 a m 2 … a m n ] A==[ α 1 α 2 . . . α m ] A=⎣ ⎡α1α2...αm⎦ ⎤=⎣ ⎡a11a21...am1a12a22am2………a1na2namn⎦ ⎤[ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n . . . a m 1 a m 2 … a m n ]
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例子：讨论 α 1 = ( 1 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 3 , 1 ) , α 3 = ( 4 , 1 , − 1 ) \alpha_1=(1,2,-1),\alpha_2=(2,-3,1),\alpha_3=(4,1,-1) α1=(1,2,−1),α2=(2,−3,1),α3=(4,1,−1)的相关性。
法1：组合式
设： α 3 = k 1 α 1 + k 2 α 2 \alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 α3=k1α1+k2α2
求解即可，得：
α 3 = 2 α 1 + α 2 \alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2 α3=2α1+α2
法2：定义证明，组合系数不全为零设： k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0 k1α1+k2α2+k3α3=0
判定系数不全为0.
法3：将向量排成矩阵，由矩阵的秩确定
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推论1：当 m > n m>n m>n时，m个n维向量线性相关
r ( A ) < m i n ( m , n ) = n < m r(A)
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推论2：任意m个n维向量线性无关的充要条件是由他们构成的矩阵 A = A m × n A=A_{m\times n} A=Am×n的秩 r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m
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推论3：任意n个n维向量线性无关的充要条件是由他们构成的方阵A的行列式不等于0，或 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n
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推论4：任意n个n维向量线性相关的充要条件是由他们构成的方阵行列式为0，或者 r ( A ) < n r(A)
r(A)<n
定理5：若m个r维向量 α i = ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i r ) ( i = 1 , 2 , . . , m ) \alpha_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir})(i=1,2,..,m) αi=(ai1,ai2,...,air)(i=1,2,..,m)线性无关，则对应的m个 r + 1 r+1 r+1维向量 β i = ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i r , a i r + 1 ) ( i = 1 , 2 , . . , m ) \beta_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir},a_{ir+1})(i=1,2,..,m) βi=(ai1,ai2,...,air,air+1)(i=1,2,..,m)仍线性无关。
用语言叙述为：线性无关的向量组，添加分量后仍线性无关。
3.2 向量的极大无关组和秩
α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm 线性相关
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| 假设 α m \alpha_m αm可由前面的m-1个向量线性表示，去掉 α m \alpha_m αm
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α 1 , α 2 , . . . , α m − 1 \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{m-1} α1,α2,...,αm−1
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| 假设 α m − 1 \alpha_{m-1} αm−1可由前面的m-2个向量线性表示，去掉 α m − 1 \alpha_{m-1} αm−1
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α 1 , α 2 , . . . , α i \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{i} α1,α2,...,αi——直到这组向量线性无关为止
这一组就是向量组的极大无关组。
3.2.1 向量的极大无关组的定义
定义：设向量组T的部分向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr满足：
- α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性无关
- T中的向量均可由 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性表示。或者T中的任意向量 α \alpha α，可使 α , α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α,α1,α2,...,αr线性相关。
则称 α , α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α,α1,α2,...,αr为向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
极大无关组的两层含义：
- 无关性
- 极大性
显然有：
- 线性无关向量组的极大无关组就是其本身
- 向量组与其极大无关组等价
- 同一个向量组的极大无关组不唯一，但他们之间是的等价的。
example：
极大无关组所含向量是否相同？
3.2.1 极大无关组的性质
定理1：设有两个n维向量：
- ① α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr
- ② β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs
若向量组①线性无关，且可由向量组②线性表示，则 r ≤ s r\leq s r≤s
证明：
A = [ α 1 α 2 . . . α r ] = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n . . . a r 1 a r 2 … a r n ] , B = [ β 1 β 2 . . . β s ] = [ b 11 b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n . . . b s 1 b s 2 … b s n ] , c = [ β 1 β 2 . . . β s α 1 α 2 . . . α r ] → [ β 1 β 2 . . . β s 0 0 . . . 0 ] A==[ α 1 α 2 . . . α r ] , B=[ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n . . . a r 1 a r 2 … a r n ] =[ β 1 β 2 . . . β s ] , c=[ b 11 b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n . . . b s 1 b s 2 … b s n ] \rightarrow[ β 1 β 2 . . . β s α 1 α 2 . . . α r ] A=⎣ ⎡α1α2...αr⎦ ⎤=⎣ ⎡a11a21...ar1a12a22ar2………a1na2narn⎦ ⎤,B=⎣ ⎡β1β2...βs⎦ ⎤=⎣ ⎡b11b21...bs1b12b22bs2………b1nb2nbsn⎦ ⎤,c=⎣ ⎡β1β2...βsα1α2...αr⎦ ⎤→⎣ ⎡β1β2...βs00...0⎦ ⎤[ β 1 β 2 . . . β s 0 0 . . . 0 ]
由上可知：
r = r ( A ) ≤ r ( c ) ≤ s r=r(A)\leq r(c)\leq s r=r(A)≤r(c)≤s
得证。- 推论1：若向量组 α , α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α,α1,α2,...,αr可由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表示，且r>s，则向量组 α , α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α,α1,α2,...,αr线性相关。
反证法即可证明。
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推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含的向量个数相等。
r ≤ s ≤ r r\leq s\leq r r≤s≤r故 r = = s r==s r==s
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数一定相等。
3.2.3 向量组的秩
定义：向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm的极大无关组所含的向量个数称为向量的极大无关组的秩，记为 r ( α 1 , α 2 , . . . , α r ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r) r(α1,α2,...,αr)
注：（1）线性无关的向量组的秩 = 向量的个数
（2）向量组线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔秩 = 向量个数
定理3：若 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm可由 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表示，则 r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) ≤ r ( β 1 , β 2 , . . . , β s ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)\leq r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s) r(α1,α2,...,αm)≤r(β1,β2,...,βs)
证明：
{ α 1 , α 2 , . . . , α m → α i , . . . , a r 是极大无关组 β 1 , β 2 , . . . , β s → β i , . . . , β t 是极大无关组 ⇒ r ≤ t\Rightarrow r\leq t {α1,α2,...,αm→αi,...,ar是极大无关组β1,β2,...,βs→βi,...,βt是极大无关组⇒r≤t{ α 1 , α 2 , . . . , α m → α i , . . . , a r 是 极 大 无 关 组 β 1 , β 2 , . . . , β s → β i , . . . , β t 是 极 大 无 关 组
推论：等价的向量组有相同的秩。必须注意：有相同的秩的向量组不一定等价。
与矩阵区别：矩阵等价，那么秩相同；矩阵秩相同，那么等价
3.2.4 向量组秩的求法
行秩：矩阵行向量的秩
列秩：矩阵的列向量组的秩
定理四：矩阵的行秩与列秩相等，为矩阵的秩
推论：向量组的秩与该向量构成的矩阵的秩相等。
3.2.5 极大无关组的求法
列摆行变换法：
列摆行变换将矩阵变为梯形阵后，秩即求出来了。这时只需要在每个高度取一个向量，相同的高度取左边，即可得到极大无关组。
注意：行摆行变换不对！
只求秩时，行摆也可以。
用向量去求解矩阵中的问题：
证明： r ( A m × s S s × n ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(A_{m\times s}S_{s\times n})\leq min\{r(A), r(B)\} r(Am×sSs×n)≤min{r(A),r(B)}
A m × s B s × n = C , A = ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) , C = ( γ 1 , γ 2 , . . , γ n ) A_{m\times s}B_{s\times n}=C, A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s),C=(\gamma_1,\gamma_2,..,\gamma_n) Am×sBs×n=C,A=(α1,α2,...,αs),C=(γ1,γ2,..,γn)
3.3 向量空间
3.3.1 向量空间的概念
定义1：设V是n维向量的非空集合，称V对于向量加法和数乘两种运算封闭，如果 ∀ α , β ∈ V , k ∈ R , ⇒ α + β ∈ V , k α ∈ V \forall\alpha,\beta\in V,k\in R,\Rightarrow\alpha+\beta\in V,k\alpha\in V ∀α,β∈V,k∈R,⇒α+β∈V,kα∈V
定义2：设V是n维的非空集合，如果V对于向量加法和数乘两种运算封闭，则称集合V为n维向量空间，简称向量空间。
L ( α 1 , α 2 , . . , α m ) = V = { α = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m } L(\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m)=V=\{\alpha=k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m\} L(α1,α2,..,αm)=V={α=k1α1+k2α2+...+kmαm}
子空间：设W、V为向量空间，若W ⊂ \subset ⊂V，则称W是V的子空间。3.3.2 向量空间的基和维数
定义3：若n维向量空间V中的向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm满足：
- α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性无关
- V中的向量均可由 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性表示
则称 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm为V的一个基
定义4：基中所含的向量个数称为向量空间的维数。
若将向量空间看做向量组，则基就是向量组的极大无关组，维数就是向量组的秩。因此，基与维数的求法就是向量组的极大无关组和秩的求法。
3.3.3 向量在基下的坐标
定义4：设 ϵ 1 , ϵ 2 , . . . , ϵ r \epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_r ϵ1,ϵ2,...,ϵr是向量空间的基， α ∈ V \alpha\in V α∈V，且 α = k 1 ϵ 1 + k 2 ϵ 2 + . . . + k r ϵ r \alpha=k_1\epsilon_1+k_2\epsilon_2+...+k_r\epsilon_r α=k1ϵ1+k2ϵ2+...+krϵr，则称系数 k 1 , k 2 , . . , k r k_1,k_2,..,k_r k1,k2,..,kr为 α \alpha α在基 ϵ 1 , ϵ 2 , . . . , ϵ r \epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_r ϵ1,ϵ2,...,ϵr
下的坐标。
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向量的坐标在一个确定的基下是唯一的
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向量空间的基不唯一，因此不同的基下的坐标也不一样
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向量在基下的坐标如何求？
- 待定系数法
- 矩阵方程法(recommend)
3.4 向量组的正交性
3.4.1 向量的内积
定义1：设有向量 α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , β = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) , \alpha=(a_1,a_2,...,a_n),\beta=(b_1,b_2,...,b_n), α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn),
a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n a1b1+a2b2+...+anbn
称为向量 α \alpha α和 β \beta β的内积，记做 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)- ( α , β ) = α β T (\alpha,\beta)=\alpha\beta^T (α,β)=αβT
- 交换律
- 数乘
- 分配律 ( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β , γ ) (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma) (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)
- ( α , α ) = a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 = ∣ ∣ α ∣ ∣ 2 (\alpha,\alpha)=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=||\alpha||^2 (α,α)=a12+a22+...+an2=∣∣α∣∣2
3.4.2 向量的单位化
∣ ∣ 1 ∣ ∣ α ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 ||\frac{1}{||\alpha||}\alpha||=\frac{1}{||\alpha||}||\alpha||=1 ∣∣∣∣α∣∣1α∣∣=∣∣α∣∣1∣∣α∣∣=1
1 ∣ ∣ α ∣ ∣ α \frac{1}{||\alpha||}\alpha ∣∣α∣∣1α为单位向量
3.4.3 向量的正交性
3.4.3.1 正交向量组的定义
定义2：若 ( α , β ) = 0 (\alpha,\beta)=0 (α,β)=0，则称向量 α \alpha α与向量 β \beta β正交【0向量和任何向量正交】
定义3：如果m个n维非零向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm两两正交，即满足 ( α i , α j ) = 0 , ( i ≠ j ) (\alpha_i,\alpha_j)=0,(i\neq j) (αi,αj)=0,(i=j)则称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm为正交向量组，简称正交组。
e 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , e n = ( 0 , 0 , . . . , 1 ) e_1=(1,0,...,0),e_2=(0,1,...,0),...,e_n=(0,0,...,1) e1=(1,0,...,0),e2=(0,1,...,0),...,en=(0,0,...,1)
为正交组。也称为单位正交组或者标准正交组。3.4.3.2 正交向量组的性质
定理：设 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm为正交向量组，则 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性无关。
- 线性无关的向量组是否一定正交？——否
- 能否化为正交组？——是
3.4.3.4 正交化
-
α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm与 β 1 β 2 , . . . , β m \beta_1\beta_2,...,\beta_m β1β2,...,βm等价
-
β \beta β是正交组——计算证明
-
正交向量组再单位化，得到单位正交向量组
3.4.4 正交矩阵
3.4.4.1 正交矩阵的定义
定义4：若n阶方阵A满足 A A T = E AA^T=E AAT=E，则称A为n阶正交矩阵
性质：
- 正交矩阵的行列式为1
- 若A是正交矩阵，那么 A T A^T AT和 A − 1 A^{-1} A−1也是正交矩阵
- 若A,B是n阶正交阵，那么AB与BA也是正交矩阵
3.4.4.2 正交矩阵的判定
定理：矩阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n\times n} A=(aij)n×n为正交矩阵 ⇔ \Leftrightarrow ⇔A的行（列）向量为单位正交向量组。
证明正交矩阵：
- 定义证明
- 定理证明
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-
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- 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_45745854/article/details/126330032