一种改进的蝴蝶优化算法

摘要：蝴蝶优化算法作为新提出的自然启发算法,其寻优方式模拟了蝴蝶利用嗅觉来确定花蜜或交配对象位置的行为。针对蝴蝶优化算法求解精度不高和收敛速度慢等问题,提出一种基于自适应扰动的疯狂蝴蝶算法（CIBOA）。首先,在自身认知飞行部分引入自适应惯性权重,平衡算法的局部与全局搜索能力;其次,在全局最优位置引入扰动策略,避免算法陷入局部最优;最后,在花蜜位置引入疯狂因子以增加种群多样性,获取更好的最优解。

1.蝴蝶优化算法

基础蝴蝶优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107855860

2. 改进蝴蝶优化算法

2.1 自适应惯性权重

在 BOA 的自身认知飞行部分体现了后置蝴蝶追随前一只 蝴蝶位置的能力。文献 [13] 在 PSO 算法中引入惯性权重 $\omega$, 分析指出: 惯性权重较大或较小都有可能引起算法陷入局部最 优, 从而影响算法效率。为了更好地平衡算法的局部与全局搜 索能力, 本文引入线性递减的惯性权重来更新蝴蝶的位置, 表 示为
x i t = { ω ( t ) × x i t + ( r 1 2 × g ∗ − x i t ) × f i r 3 ⩽ P ω ( t ) × x i t + ( r 2 2 × x j t − x k t ) × f i r 3 > P ω ( t ) = ω min ⁡ + ( ω max ⁡ − ω min ⁡ ) exp ⁡ ( − 0.5 × ( t t max ⁡ ) 2 )

\right. \\ \omega(t)=\omega_{\min }+\left(\omega_{\max }-\omega_{\min }\right) \exp \left(-0.5 \times\left(\frac{t}{t_{\max }}\right)^{2}\right) \end{array} xit​={ω(t)×xit​+(r12​×g∗−xit​)×fi​ω(t)×xit​+(r22​×xjt​−xkt​)×fi​​r3​⩽Pr3​>P​ω(t)=ωmin​+(ωmax​−ωmin​)exp(−0.5×(tmax​t​)2)​
其中: $r_3$ 是 $[0,1]$ 的随机数; ${\omega }_{\text{max }}$ 为初始惯性权重; ${\omega }_{\text{min }}$ 为迭代结 束时的惯性权重; $t$ 为当前迭代次数; $T_{\text{max }}$ 为最大迭代次数。惯 性权重 ${\omega }_{\text{max }}=0.9,{\omega }_{\min }=0.4$ 时算法具有最佳性能。因此, 随 着迭代的进行, 惯性权重从 $0.9$ 线性递减至 $0.4$, 迭代初始阶 段较大的惯性权重让算法保持较好的搜索能力, 而迭代后期较 小的惯性权重有助于算法进行更好的开发能力。

2.2 扰动策略

在 BOA 算法的全局搜索阶段，所有蝴蝶个体都向同一个全局最优位置飞行，这样操作的不足之处在于很容易陷入局部最优，致使该算法在应用于较复杂的多峰函数中时，收敛过早和精度低下的缺点比较明显。对此本文引入文献［11］提出的多段扰动策略用于更新最优花蝊位置 $g^{\ast }$, 即对全局最优花蝊 位置根据方差可调的正态随机分布进行扰动得到新的全局最 优花蝊位置 $g_{\text{best }}$, 更新公式为
$$g_{\text{best }}=N\left(g^{\ast },\delta \right)$$
其中: $\delta$ 表示相对于 $g^{\ast }$ 的不确定度, 是对迭代次数 $t$ 的非增函 数,其更新公式为
δ = { δ 1 t < α 1 T δ 2 α 1 T < t < α 2 T δ 3 t > α 2 T \delta=

δ=⎩ ⎨ ⎧​δ1​δ2​δ3​​t<α1​Tα1​T<t<α2​Tt>α2​T​
其中: $\delta$ 表示正态扰动的半径参数且 ${\delta }_1>{\delta }_2>{\delta }_3;{\alpha }_1、{\alpha }_2$ 是半径 变化的控制参数, 且 ${\alpha }_1<{\alpha }_2;t$ 是当前迭代次数; $T$ 是最大迭代 次数。

2.3 疯狂因子

蝴蝶在飞行的过程中, 其产生的香味大小不可能一直保持 不变, 随着距离浓度的改变来扰乱种群的意外行为。在此用疯 狂因素来描述, 其核心思想是通过疯狂变量对其进行建模, 在 $\mathrm{BOA}$ 的位置公式中引入一个疯狂因子 ${}^{[12]}$, 确保蝴蝶具有预定 确定的疯狂概率, 以保持种群的多样性, 更新公式为
x i t = { ω ( t ) × x i t + ( r 1 2 × g best  − x i t ) × f i + P ( r 4 ) sign ⁡ ( r 4 ) x craziness  r 3 ⩽ P ω ( t ) × x i t + ( r 2 2 × x j t − x k t ) × f i + P ( r 4 ) sign ⁡ ( r 4 ) x craziness  r 3 > P \boldsymbol{x}_{i}^{t}=

xit​=⎩ ⎨ ⎧​ω(t)×xit​+(r12​×gbest ​−xit​)×fi​+P(r4​)sign(r4​)xcraziness ​ω(t)×xit​+(r22​×xjt​−xkt​)×fi​+P(r4​)sign(r4​)xcraziness ​​r3​⩽Pr3​>P​
其中: $\omega (t)$ 表示引入自适应惯性权重; $g_{\text{best }}$ 表示引入扰动策略; $r_4$ 是 $[0,1]$ 的随机数; $x_{\text{craziness }}$ 通常取较小的常数; $P\left(r_4\right)$ 和 $\mathrm{sign}\left(r_4\right)$ 定义分别为
P ( r 4 ) = { 1  if  r 4 ⩽ P c r 0  else  sign ⁡ ( r 4 ) = { − 1  if  r 4 ⩾ 0.5 1  else 

P(r4)={1 if r4⩽Pcr0 else sign⁡(r4)={−1 if r4⩾0.51 else " role="presentation" style="position: relative;">P(r4)sign(r4)={10 if r4⩽Pcr else ={−11 if r4⩾0.5 else $$\begin{array}{rl}P\left(r_4\right)& =\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }{r}_4⩽P_{cr}\\ 0& \text{ else }\end{array}\\ \mathrm{sign}\left(r_4\right)& =\{\begin{array}{ll}-1& \text{ if }{r}_4⩾0.5\\ 1& \text{ else }\end{array}\end{array}$$

P(r4​)sign(r4​)​={10​ if r4​⩽Pcr​ else ​={−11​ if r4​⩾0.5 else ​​
其中: $P_{cr}$ 为设定的疯狂 概率; $x_{\text{craziness }}$ 为一个非 常小的值 (为 $0.0001$ ), 蝴蝶在飞行过程中花䘺位置发生移动的可能性较 小。在这种情况下, 如果 $P_{cr}$ 取值较小 (为 $0.3$ ), 则随机数 $c_4$ 将 有很大概率大于 $P_{cr}$, 疯狂因子 $P\left(c_4\right)$ 也将为 0 , 这是人们实际期 望的。

自适应扰动的 CIBOA 步骤如下:

a) 设置算法参数, 初始化蝴蝶个体位置。根据搜索空间 的上下限, 随机生成一个 $N\times d$ 维矩。
b）计算初始适应度值。根据测试函数计算 $N$ 只蝴蝶的适 应度值。
c) 选定花蜜源。把步骤b）中计算后的适应度值进行升序 排列, 适应度值最好的蝴蝶位置选定为花蜜源位置, 并根据 式（1）计算其香味大小。
d) 蝴蝶位置更新。根据式 (8) 和 $P$ 值判断当前迭代进行 全局搜索还是局部搜索, 然后对应更新每只蝴蝶的位置。
e) 计算适应值。计算更新后每只蝴蝶所处位置的适应度 值, 并更新最优位置。
f）重复步骤 d） $\sim$ e）的更迭过程, 如果达到设置的精度要 求或规定的最大迭代次数, 则终止算法, 输出全局最优解。

3.实验结果

4.参考文献

[1]王依柔,张达敏,徐航,宋婷婷,樊英.基于自适应扰动的疯狂蝴蝶算法[J].计算机应用研究,2020,37(11):3276-3280.

5.Matlab代码

6.Python代码