【组成原理-数据】定点数的编码与运算

0 必知的常用数

• (128)₁₀ = (7F)₁₆ = 2⁷
• (256)₁₀ = (FF)₁₆ = 2⁸
• (1024)₁₀ = (400)₁₆ = 2¹⁰
• (32768)₁₀ = (FFFF)₁₆ = 2¹⁵
• (65536)₁₀ = (10000)₁₆ = 2¹⁶
• (2147483648)₁₀ = 2³¹
• (4294967296)₁₀ = 2³²

1 定点数的编码

1.1 编码的种类

定点数编码有四种：

• 原码：最高位表示真值的符号（1 表示负，0 表示正），其余各位表示真值的绝对值

【注 1】设原码字长为 n（即有 n 位），则原码整数的表示范围为-(2n-1-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)

【注 2】设原码字长为 n（即有 n 位），则原码小数的表示范围为-(1-2-(n-1)) ≤ x ≤ +(1-2-(n-1))

【注 3】原码全 0，对应真值的最小值-(2n-1)；原码全 1，对应真值的最大值+(2n-1-1)

【注 4】0 的表示不唯一，分正负零（0,000,0000 和 1,000,0000）

• 反码：正数的反码与原码一样，负数的反码其数值部分全部取反

【注 1】设反码字长为 n（即有 n 位），则反码整数的表示范围为-(2n-1-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)

【注 2】设反码字长为 n（即有 n 位），则反码小数的表示范围为-(1-2-(n-1)) ≤ x ≤ +(1-2-(n-1))

【注 3】反码全 0，对应真值的最小值-(2n-1)；反码全 1，对应真值的最大值+(2n-1-1)

【注 4】0 的表示不唯一，分正负零（0,000,0000 和 1,111,1111）

• 补码（带符号整数）：正数的补码与反码一样，负数的补码等于反码加 1

【注 1】设补码字长为 n（即有 n 位），则补码整数的表示范围为-(2n-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)

【注 2】设补码字长为 n（即有 n 位），则补码小数的表示范围为-1 ≤ x ≤ +(1-2-n)

【注 3】补码全 0，对应真值的最小值-(2n-1)；补码全 1，对应真值的最大值+(2n-1-1)

【注 4】0 的表示唯一（0,000,0000）

【注 5】若补码的符号位相同，则数值位越大码值越大

• 移码：真值基础上加上一个偏置常数（取 2ⁿ）

【注 1】设移码字长为 n（即有 n 位），则移码整数的表示范围为-(2n-1) ≤ x ≤ +(2n-1-1)

【注 2】移码全 0，对应真值的最小值-2n；移码全 1，对应真值的最大值+(2n-1)

【注 3】0 的表示唯一（1,000,0000）

【注 4】移码保持了数据原有的大小顺序，移码大真值就大，移码小真值就小

1.2 编码的转换

• 正数：原码 --（不用变）–> 反码 --（不用变）–> 补码 --（符号位取反）–> 移码
• 负数：原码 --（数值部分取反）–> 反码 --（直接加 1）–> 补码 --（符号位取反）–> 移码
• 负数：原码 <–（从右往左找第一个“1”，“1”左边所有数值位取反）–> 补码
• 补码转真值：最高的符号位有负值加权，例：[1,000,0011]补 = (-27+21+20)10 = (-125)10

【例 1】(-100)₁₀ 的编码转换（默认 8 位字长）

先化为十六进制，再转换为二进制：(100)₁₀ = (64)₁₆ = (0110,0100)₂

（1）原码：1,110,0100

（2）反码：1,001,1011

（3）补码：1,001,1100

（4）移码：0,001,1100

【例 2】(1,000,1101)₂（默认 8 位字长），若为（1）原码；（2）反码；（3）补码；（4）移码，求对应真值？

（1）原码：1,000,1101 --> 转换为十六进制：1(-),000(0),1101(13) --> 转换为十进制：(-13)₁₀

（2）反码：1,000,1101 --> 原码：1,111,0010 --> 转换为十六进制：1(-),111(7),0010(2) --> 转换为十进制：-(16*7+2)₁₀ = (-114)₁₀

（3）补码：1,000,1101 --> 原码：1,111,0011 --> 转换为十六进制：1(-),111(7),0011(3) --> 转换为十进制：-(16*7+3)₁₀ = (-115)₁₀

（4）移码：1,000,1101 --> 补码：0,000,1101 --> 转换为十六进制：0(+),000(0),1101(13) --> 转换为十进制：(+13)₁₀

1.3 C 语言的强制转换

• 相同字长下，有符号数与无符号数的转换：保持位值不变，仅改变解释位值的方式
• 长字长转换短字长：多余的高位直接丢弃，低位直接赋值
• 短字长转换长字长：无符号情况下，扩展的高位部分用 0 填充；有符号情况下，扩展的高位部分用原数字符号填充
• C 语言中赋值和判断也会出现强制类型转换，常见转换路径：char–>int–>long–>double 和 float–>double

【例】16 位补码 0x8FA0 扩展为 32 位是 0xFFFF 8FA0。

【补充】C 语言数据类型

• char：字长 8 位（1 字节）
• short：字长 16 位（2 字节）
• int：字长 32 位（4 字节）
• long：在 64 位机器中，字长 64 位（8 字节）；在 32 位机器中，字长 32 位（4 字节）
• float：字长 32 位（4 字节）
• double：字长 64 位（8 字节）

【注】8 bit = 1 Byte

2 定点数的运算

2.1 定点数的移位

移位有三种：算术移位、逻辑移位、循环移位。

2.1.1 算术移位（有符号数）

【规则】

• 算术移位过程中，符号位均保持不变。
• 正数的算术移位：原码、补码、反码算术移位，空位添 0
• 负数原码的算术移位：用 0 占据空位

负数的原码数值部分与真值相同，因此移位时符号位不变，其余空位添 0

• 负数反码的算术移位：空位添 1

负数的反码数值部分与负数的原码相反，因此移位时其余空位添相反的数，即为 1

• 负数补码的算术移位：算术左移，低位空位添 0；算术右移，高位空位添 1

负数的原码转补码，从右往左（从低到高）找到第一个“1”，这个“1”的左边（符号位除外）与原码相反，故空位添相反的数，即为 1；右边与原码相同，故空位仍添 0

【例】负数补码的算术移位

算术右移 1 位：1,110,0110 >> 1 = 1,111,0011

算术右移 2 位：1,110,0110 >> 2 = 1,111,1001

算术左移 1 位：1,110,0110 << 1 = 1,100,1100

算术左移 2 位：1,110,0110 << 1 = 1,001,1000

【注】补码正数的符号位为 0，左移最高位为 0 时，数据不会丢失；负数的符号位为 1，左移最高位为 1 时，数据不会丢失。

2.1.2 逻辑移位（无符号数）

【规则】

• 逻辑移位将操作数视为无符号数
• 逻辑左移：高位丢弃，低位添 0
• 逻辑右移：低位丢弃，高位添 0

2.1.3 循环移位

【规则】

• 不带进位的循环左移：高位溢出的数填充回低位，且高位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 不带进位的循环右移：低位溢出的数填充回高位，且低位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 带进位的循环左移：CF 的值填充回低位，且高位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 带进位的循环右移：CF 的值填充回高位，且低位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 循环移 n 位：相当于进行 n 次的循环移 1 位
• 一般用途：将数据的低字节数据与高字节数据互换位置

【例】一个 8 位寄存器内的数值为 0100,1011，进位标志位 CF=1，若（1）带进位循环左移一位；（2）带进位循环右移一位；（3）不带进位循环左移一位；（4）不带进位循环右移一位，结果是多少？

【注】括号内的英文表示该数值位是从 CF、数值的高位（HIGH）还是数值的低位（LOW）移进来的。

（1）带进位循环左移一位：100,1011,1 (CF)；CF = 0 (HIGH)

（2）带进位循环右移一位：1 (CF),0100,101；CF = 1 (LOW)

（3）不带进位循环左移一位：100,1011,0 (HIGH)；CF = 0 (HIGH)

（4）不带进位循环右移一位：1 (LOW),0100,101；CF = 1 (LOW)

2.2 定点数的加减法

2.2.1 补码的加减法

• 加法运算：补码直接相加
• 减法运算：被减数-减数，减数转换为其负数的补码，转换为加法运算进行

【例】A = 15，B = 28，计算 [A+B]_补，[A-B]_补

转换为二进制：A = (15)₁₀ = (000,1111)₂, B = (28)₁₀ = (001,1100)₂

[A]_原= 0,000,1111, [B]_原= 0,001,1100

[A]_补= 0,000,1111, [B]_补= 0,001,1100, [-B]_补= 1,110,0100

[A+B]_补 = 0,000,1111 + 0,001,1100 = 0,010,1011 = (+43)₁₀

[A-B]_补 = 0,000,1111 + 1,110,0100 = 1,111,0011 = (-13)₁₀

2.2.2 溢出的判别

发生溢出的情况：

• 两个同号数相加，得到的结果却异号
• 两个异号数相减，得到的结果与被减数异号

【模 2 补码】有一个符号位的补码，即正常的补码。

【模 4 补码（变形补码）】有两个符号位 S₁S₂ 的补码，“00”表示正数，“11”表示负数，如：

• -3：补码：1,101；变形补码：11,101
• +3：补码：0,011；变形补码：00,011

若两个符号位不同，“01”表示正溢出，“10”表示负溢出，最高位符号位表示真正的符号。

实际情况下，存储每个变形补码仅需一个符号位，因为无论正数还是负数，两个符号位都是一样的，只有在运算时才会出现不一样的情况。

• 溢出标志位 OF = 1 时，说明发生了溢出
• OF = 最高位（即符号位）进位 ⊕ 次高位（即数值的最高位）进位 = S₁⊕ S₂

即：最高位和次高位，一个有进位，另一个没有进位，若它们的异或值是 1，则结果就有溢出。

补码加减溢出的相关例题

【例 1】溢出的例子：0100,0000 + 0100,0000 = 1000,0000

列竖式：

• 加黑体数位为最高位，最高位没有产生进位
• 斜体数位为次高位，次高位产生了进位
• 因此结果溢出

【例 2】溢出的例子：1000,0000 + 1000,0000 = 0000,0000

列竖式：

• 加黑体数位为最高位，最高位产生了进位
• 斜体数位为次高位，次高位没有产生进位
• 因此结果溢出

【例 3】没有溢出的例子：1111,1111 + 0001,0000 = 0000,1111

列竖式：

• 加黑体数位为最高位，最高位产生了进位
• 斜体数位为次高位，次高位产生了进位
• 因此结果没有溢出

2.3 定点数的乘除法

2.3.1 原码的乘法

设[X]_原=x_s.x₁x₂…x_n，[Y]_原=y_s.y₁y₂…y_n，原码一位乘法 X*Y 的规则如下：

• 符号位 = x_s ⊕ y_s
• 部分积 = X * y_i
• 部分积初值为 0。从 Y 的最低位 y_n 开始，部分积 = 部分积 + yn * |X|，然后将部分积和 Y 逻辑右移一位。该步骤重复 n 次，进行加法运算也为 n 次

【例】x = -0.1101，y = 0.1011，进行原码一位乘法 x * y：

符号位 = 1 ⊕ 0 = 1

x * y = -0.10001111

2.3.2 补码的乘法

设[X]_补=x_s.x₁x₂…x_n，[Y]_补=y_s.y₁y₂…y_n，补码一位乘法 X*Y 的规则如下：

• 部分积、被乘数采用双符号位补码；乘数采用单符号位补码
• 符号位参与运算
• Y 增设辅助位 y_n+1 = 0
• 部分积初值为 0。从 Y 的最低位 y_n 开始：当 (ynyn+1) = (01)，部分积 = 部分积 + [X]补；当 (ynyn+1) = (10)，部分积 = 部分积 + [-X]补；其他情况加 0。然后将部分积和 Y 算术右移一位
• 以上步骤重复 n+1 次，但最后一次不用移位。所以需要加法运算 n+1 次，移位 n 次

【例】x = -0.1101，y = 0.1011，进行补码一位乘法 x * y：

[x]_补 = 11.0011，[-x]_补 = 00.1101，[y]_补 = 0.1011

注：最后的 MQ = 00010 的最低位为原符号位，不用

[x * y]_补 = 11.01110001，x * y = -0.10001111

2.3.3 原码的除法

设[X]_原=x_s.x₁x₂…x_n，[Y]_原=y_s.y₁y₂…y_n，加减交替法（不恢复余数法）求 X/Y 的规则如下：

• 首先，|被除数| - |除数| = 新余数
• 若新余数为负：商 0，余数左移，然后加|除数|，得到新余数
• 若新余数为正：商 1，余数左移，然后减|除数|，得到新余数
• 以上两个步骤重复 n+1 次，最后一次若余数为负，商 0，需加上|除数|得到正确余数
• 总的加法运算为 n+1 或 n+2 次，移位总次数为 n 次

【例】x = 0.1011，y = 0.1101，利用加减交替法求 x / y：

|x| = 0.1011，|y| = 0.1101，[|y|]_补 = 0.1101，[-|y|]_补 = 1.0011

x / y = +0.1101，余数 = 0.0111 * 2^-4

2.3.4 补码的除法

设[X]_补=x_s.x₁x₂…x_n，[Y]_补=y_s.y₁y₂…y_n，加减交替法求 X/Y 的规则如下：

• 部分余数、被除数、除数采用双符号位补码
• 符号位参与运算
• 首先，若 X、Y 同号，则余数 = X - Y；若 X、Y 异号，则余数 = X + Y
• 若余数与 Y 同号，则商 1，余数左移，减去 Y
• 若余数与 Y 异号，则商 0，余数左移，加上 Y
• 重复以上两个步骤 n 次，商末位恒置 1

【例】x = 0.1000，y = -0.1011，利用加减交替法求 x / y：

[x]_原 = 00.1000，[x]_补 = 00.1000

[y]_原 = 11.1011，[y]_补 = 11.0101，[-y]_补 = 00.1011

[x/y]_补 = 1.0101，余数 = 0.0111 * 2^-4

—EOF—