spfa处理差分约束

差分约束是一群不等关系然后求可行解或者最小值最大值的情况 

1.求最大值，用最短路，也就是符号要  （a）>=（b）+c  add(b,a,c)

2.求最小值，用最长路，也就是符号要  （a）<=（b）+c  add(b,a,c)

目录

1.糖果（最长路）

2.区间（最长路）

3.排队布局（最短路）

4.雇佣收银员（最长路）

---

 

1.糖果（最长路）

 信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

x==1 说明a==b 则a>=b且b>=a

x==2 说明b>a 则b>=a+1

x==3 说明a>=b

x==4 说明a>b 则a>=b+1

x==5 说明b>=a

因为保证每个小孩都有一个糖果，则每个小孩>=0+1 

#include
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=3e5+10;
typedef long long ll;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
ll dist[N];
int cnt[N],q[N];
bool st[N];
int n,k;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
bool spfa()
{
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    int tt=1;
    q[0]=0;//用虚拟原点0号点更新其他点的最长路
    dist[0]=0;
    while(tt!=0)
    {
        int t=q[--tt];//用栈优化
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]//更新最长距离
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=n+1) return false;//假如更新了n+1次则有负环
                if(!st[j])
                {
                    q[tt++]=j;
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    return true;//反之没负环
}
int main()
{
   cin>>n>>k;
   memset(h,-1,sizeof h);
   for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,1);//保证每个小朋友都有一个糖果，且0这个虚拟原点可以走所有的边 i>=0+1
   while(k--)
   {
       int x,a,b;
       scanf("%d%d%d",&x,&a,&b);
       if(x==1) add(b,a,0),add(a,b,0);//a>=b+0且b>=a+0
       else if(x==2) add(a,b,1);//b>=a+1
       else if(x==3) add(b,a,0);//a>=b
       else if(x==4) add(b,a,1);//a>=b+1
       else add(a,b,0);//b>=a
   }
   if(spfa())//假如没负环，也就是没有小孩子有矛盾，则输出
   {
       ll res=0;
       for(int i=1;i<=n;i++) res+=dist[i];
       cout<
   }
   else puts("-1");
	return 0;
}

2.区间（最长路）

362. 区间 - AcWing题库

 条件1：保证i比i-1选的数大于或者等于，则i>=i-1

条件2：由于当前数i有；两种情况选或者不选，则i-(i-1)<=1,则（i-1）>=i-1

条件3：题目输入，则b-(a-1)>=c，则b>=(a-1)+c

#include
using namespace std;
const int N=50010,M=150010;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N];
int q[N];
bool st[N];
int n;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void spfa()//常规spfa
{
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    int hh=0,tt=1;
    q[0]=0;
    dist[0]=0;
    while(hh!=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j])
                {
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
   scanf("%d",&n);
   memset(h,-1,sizeof h);
   for(int i=1;i<=50001;i++) add(i-1,i,0),add(i,i-1,-1);//条件1和2
   while(n--)
   {
       int a,b,c;
       scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
       if(a>b) swap(a,b);
       a++,b++;
       add(a-1,b,c);//条件3
   }
   spfa();//因为一定有解不用判断负环
   printf("%d\n",dist[50001]);//输出前50001个的数
	return 0;
}

3.排队布局（最短路）

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

条件0：两两头牛距离至少为0 则i-(i-1)>=0 对应(i-1)<=i-0

条件1：距离最多为d 则a-b<=d 对应a<=b+d

条件2：距离最少为d 则a-b>=d 对应b<=a-d

#include
using namespace std;
const int N=1010,M=2e4+10;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N];
int q[N],cnt[N];
bool st[N];
int n,m1,m2;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
bool spfa()//常规spfa判断负环
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//求最短路初始化最大值
    int hh=0,tt=1;
    q[0]=1;
    dist[1]=0;
    while(hh!=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i])//求最短路
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>n) return false;
                if(!st[j])
                {
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
   cin>>n>>m1>>m2;
   memset(h,-1,sizeof h);
 for(int i=1;i<=n;i++) add(i,i-1,0);//条件0
  while(m1--)//条件1
  {
      int a,b,c;
      cin>>a>>b>>c;
      if(aswap(a,b);
      add(b,a,c);
  }
  while(m2--)//条件2
  {
      int a,b,c;
      cin>>a>>b>>c;
      if(aswap(a,b);
      add(a,b,-c);
  }
  if(spfa())
  {
      if(dist[n]==0x3f3f3f3f) puts("-2");//假如走不到
      else cout<
  }
  else puts("-1");//假如有矛盾
	return 0;
}

4.雇佣收银员（最长路）

393. 雇佣收银员 - AcWing题库

 

#include 
using namespace std;
const int N=30,M=100;
int dist[N];
int q[N],cnt[N];
bool st[N];
int r[N],num[N];
int n;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void built(int s24)//s24是常数也就是枚举的答案
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    idx=0;
    for(int i=1;i<=24;i++)
    {
        add(i-1,i,0);//si-s(i-1)>=0
        add(i,i-1,-num[i]);//si-s(i-1)<=num[i]
    }
    for(int i=8;i<=24;i++) add(i-8,i,r[i]);//当大于等于8时，si-s(i-8)>=ri
    for(int i=1;i<=7;i++) add(i+16,i,-s24+r[i]);//当小于8时，si+s(24)-s(i+16)>=ri
    add(0,24,s24),add(24,0,-s24);//要保证24这个点是个常数则s(24)<=s(0)+s24,s(24)>=s(0)+s24
}
bool spfa(int s24)//s24是常数也就是枚举的答案
{
    built(s24);//建图
    //跑一遍spfa
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    memset(st,0,sizeof st);
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    int hh=0,tt=1;
    q[0]=0;
    dist[0]=0;
    st[0]=true;
    while(hh!=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=25) return false;
                if(!st[j])
                {
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        memset(num,0,sizeof num);
        for(int i=1;i<=24;i++) cin>>r[i];
        cin>>n;
        for(int i=0;i
        {
            int x;
            cin>>x;
            num[x+1]++;//把0空出来当虚拟原点
        }
        bool f=false;
        for(int i=0;i<=1000;i++)//枚举s24可能的情况
            if(spfa(i))
            {
               cout<
               f=true;
               break;
            }
      if(!f) puts("No Solution");
    }
    return 0;
}