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前言

早上没睡醒！又是在梦中被坏女人骗走感情的一天。

一、一元线性回归

线性回归的定义：线性回归是一种通过自变量（一个或多个特征值）与因变量（目标值）之间的关系来进行建模的回归分析。
一元线性回归：即只用一个x来预测y，就是一元线性回归，一元线性回归的任务即找到一条直线（$y=wx+b$）来尽量的拟合图中的所有数据点。

二、损失函数

损失函数：用来评价直线对于图中所有数据点的拟合程度, 一般情况下，我们使用均方误差来评价直线的拟合程度，即均方误差的值越小，说明直线越能拟合我们的数据。

MSE（Mean Square Error）均方误差：即真实值与预测值的差值的平方然后求和再平均
$$MSE=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{(y_i-f(x_i))}^2$$

注：其中的黄色线代表真实值与预测值的差。

三、损失函数的优化方法（梯度下降）

梯度下降的目的：不断学习改进，即梯度下降的目的，就是使得损失函数最小化。
梯度下降的原理：使用微积分里的导数，通过求出函数导数的值，从而找到函数下降的方向或者是最低点。

梯度下降的过程：
1、for 循环 to 训练次数（一般来说训练1000次，即较多次数，设置条件只要满足损失小于多少就停止）：
2、随机生成权重w和偏差b，要求符合正态分布。（直接设置两个1也可以，后续会w和b会更新）。设置学习率，一般设置为（0.01, 0.1, 1）
3、计算每一个训练数据的预测值（$y=wx+b$），求得损失函数，并且计算每一个训练数据的权重和偏差相对于损失函数的梯度，即我们最终会得到每一个训练数据的权重和偏差的梯度值。
4、计算所有训练数据权重w的梯度的总和。
5、计算所有训练数据偏差b的梯度的总和。
6、求得所有样本的权重和偏差的梯度的平均值
7、根据公式来更新权重值和偏差值
$$w=w-LR\ast w.grad$$
$$b=b-LR\ast w.grad$$
8、循环，直到满足损失小于多少为止。

四、使用Torch来实现线性回归

import torch
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置CPU生成随机数的种子，方便下次复现实验结果。
torch.manual_seed(9)

# 设置学习率为0.1
lr = 0.05

# 创建训练数据
# 创建二维列表，
x = torch.rand(20, 1)*10
y = 2*x + (5 + torch.randn(20, 1))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

输出x和y：

# 随机参数w和b
w = torch.randn((1), requires_grad=True)
b = torch.randn((1), requires_grad=True)
1
2
3

输出w和b：

for i in range(1000):
    # 前向传播
    # torch.mul作element-wise的矩阵点乘，维数不限，可以矩阵乘标量
    # 当a, b维度不一致时，会自动填充到相同维度相点乘。
    wx = torch.mul(w, x)
    # 支持广播相加
    y_pred = torch.add(wx, b)
    
    # 计算MSE Loss
    # 反向传播， ✖2分之一是为了方便求导
    loss = (0.5 * (y - y_pred) ** 2).mean()
    
    # 反向传播, 计算当前梯度
    loss.backward()
    
    # 更新参数
    # w = w- LR*w.grad
    # b = b- LR*w.grad
    
    # 函数形式：torch.sub(input, other, *, alpha=1, out=None)
    # 参数解读：
    #  input: 输入的被减数，格式为tensor格式
    #  other：输入的减数
    #  alpha:与上面other参数搭配使用，用来与other相乘，当使用torch.sub()函数时不指定alpha的值时，alpha默认为1
    #  out： 指定torch.sub()输出值被赋给的变量，可不指定。
    
    # 然而
    # torch.sub_()功能与torch.sub()相同，区别在与torch.sub_()是torch.sub()的in-place操作版本。
    
    b.data.sub_(lr * b.grad)
    w.data.sub_(lr * w.grad)
    
     # 绘图
    if i % 20 == 0:
        plt.cla()   # 防止社区版可视化时模型重叠2020-12-15
        plt.scatter(x.data.numpy(), y.data.numpy())
        plt.plot(x.data.numpy(), y_pred.data.numpy(), 'r-', lw=5)
        plt.text(2, 20, 'Loss=%.4f' % loss.data.numpy(), fontdict={'size': 20, 'color':  'red'})
        plt.xlim(1.5, 10)
        plt.ylim(8, 28)
        plt.title("Iteration: {}\nw: {} b: {}".format(i, w.data.numpy(), b.data.numpy()))
        plt.pause(0.5)

        if loss.data.numpy() < 1:
            break
    plt.show()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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45
46

迭代的最终图：

参考文章：
用人话讲明白线性回归LinearRegression.
线性回归，损失的定义，损失函数与优化方法，用统计学习方法来理解线性回归、损失函数和优化方法，Sklearn使用方法.
梯度下降算法（Gradient Descent)的原理和实现步骤.

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总结

年纪大了，推个简单公式得写好久。